עקרון הויגנס

עקרון הויגנס (או הויגנס-פרנל) קובע שכל נקודה על חזית גל מתנהגת כמקור נקודתי של גל חדש. כל המקורות הקטנים האלה פולטים גלים כדוריים, והסכום שלהם (התאבכות) יוצר את הגל הכולל שמתקדם במרחב. העיקרון מוסבר בדרך כלל לאור גל מונוכרומטי, כלומר אור בתדירות אחת בלבד.

הרעיון הוצע על ידי כריסטיאן הויגנס במאה ה-17. הוא הסביר בעזרת זה התקדמות וקווי שבירה של גלים, אך לא נתן הסבר מדויק לעקיפה, ההסתעפויות של גל סביב פינות ומפתחים. בתחילת המאה ה-19 הוסיף אוגוסטין פרנל את רעיון ההתאבכות והכניס הנחות על פאזה (הזמן היחסי במחזור של הגל) ומשרעת (עוצמת הגל), כולל פקטור ההטיה. פרנל הצליח להסביר תופעות ניסוייות חשובות, כגון כתם אראגו, נקודה בהירה במרכז הצל של דיסקה מוצקה, שנבדקה ואושרה בניסוי.

קירכהוף אחר כך נתן נוסחה מתמטית נוקשה יותר שנובעת ממשוואת הגל. נוסחתו מסבירה את אותם התנאים שהשלים פרנל, כולל ביטוי מפורש לפקטור ההטיה K(χ)=½(1+cosχ). הביטוי הזה מראה מדוע אין שידור אחורי של הגלים, ואיך הכיוון העדיפי של התקדמות נוצר באופן מתמטי.

מקור נקודתי P0 עם משרעת (משרעת מרוכבת, ערך שמתאר גם עוצמה וגם פאזה) U0 מפיק גל כדורי. מרחק r0 מנקודת המקור שונה בפאזה ובמשרעת כך שהמשרעת ב-Q היא U(r0)=U0 e^{ikr0}/r0, כאשר k=2π/λ ו־λ הוא אורך הגל. פרנל הוסיף שהגלים המשניים מוכפלים ב־(-i/λ) ובפקטור K(χ). הכפל -i/λ מציין שהגלים המשניים מאחרים ברבע מחזור ושעוצמתם פרופורציונלית ל־1/λ.

עם עקרון הסופרפוזיציה מקבלים אינטגרל על פני המשטח S של חזית הגל:
U(P)= -
i/λ U(r0) ∫_S (e^{iks}/s) K(χ)
dS
כאן s הוא המרחק מנקודת המשטח לנקודה P, ו־K(χ) מתאר את ההטיה של המקור המשני בכיוון χ.

בניסויי עקיפה גל מישורי עובר דרך פתח. על פי עקרון הויגנס, הפתח מתנהג כאוסף של מקורות נקודתיים. ההתאבכות שלהם יוצרת תבנית על המסך שמכילה גם אזורים שנמצאים ב"צל" על פי האופטיקה הגאומטרית. זהו ההסבר לקיום אור באזורים אלה.

הגל מנקודה מקיים את משוואת הלמהולץ הלא-הומוגנית. הפתרון הבסיסי הוא פונקציית גרין, גל כדורי פרופורציוני ל־e^{ik|r-r'|}/|r-r'|. בעזרת משפט גרין ניתן לכתוב את הגל שמיוצר ממקור שאינו נקודתי כאינטגרל פני השטח של תרומות של גלים כדוריים, כולל גורם זוויתי cosθ.

כשגל פוגע במשטח שמפריד בין שני חומרים, חלק מהגל מתפשט מצד אחד וחלק מצד שני. מהירות האור בחומר תלויה במקדם השבירה שלו. אם מקדמי השבירה שונים, חצאי הכדור שמתקדמים לכיוונים שונים ישתנו בקצבם. זה משנה את כיוון התקדמות חזית הגל, והיחס הזה מוביל לחוק סנל שמחשב את זווית השבירה.

עקרון הויגנס אומר שכל נקודה על חזית גל היא מקור קטן של גל חדש. גל חדש כזה נראה כמו גל כדורי קטן. כשהגלים הקטנים האלה נפגשים, הם יוצרים את הגל הכולל.

הויגנס חשב על זה במאה ה-17. מאוחר יותר פרנל הראה שזה מסביר תופעות כמו עקיפה. ניסוי מצא נקודה בהירה במרכז הצל של דיסקה. זה נקרא כתם אראגו.

מקור נקודתי יוצר גל כדורי. אורך הגל נקרא λ. יש נוסחה שמתארת איך המשרעת (העוצמה והפאזה) משתנה עם המרחק. פרנל הוסיף גורם שמראה שהגלים המשניים מאחרים קצת ומושפעים בזווית.

כש גל עובר דרך פתח, הפתח מתנהג כמו הרבה מקורות קטנים. לכן יש תבניות של אור וצל על המסך. זה מסביר את ניסוי הסדקים של יאנג.

קיים פתרון פשוט שמראה שכל נקודה פולטת גל פרופורציונלי ל־e^{ikr}/r. אפשר לחשב גל גדול על ידי חיבור גלים קטנים ממשטח.

כש אור עובר מחומר אחד לאחר, המהירות שלו משתנה. בגלל זה כיוון האור משתנה. את הזווית אפשר לחשב לפי חוק שנקרא חוק סנל.