פונקציה סתומה

במתמטיקה, פונקציה סתומה היא פונקציה שמוגדרת על ידי משוואה שקושרת בין משתנים, ולא על ידי ביטוי מפורש כגון y = f(x).

לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את הפונקציה באופן מפורש. לעתים הצגה מפורשת פחות סימטרית או פחות שימושית. משפט הפונקציה הסתומה נותן תנאים לכך שפתרון מפורש קיים, וגם מאפשר לחשב נגזרות של הפונקציה המוגדרת סתום.


עקומים מפורסמים רבים נכתבים קל יותר בצורת משוואה סתומה. בין השמות המוכרים: =הלמניסקטה של ברנולי=, =הפוליום של דקארט=, =השבלול של פסקל= ו=הפרח של גראנדי=. לדוגמה, בפרמטר a משפיע על גודל וצורת ההלמניסקטה.


יש כמה שיטות למציאת הנגזרת של פונקציה סתומה. השיטה הנפוצה ביותר היא גזירה עקיפה. מניחים y = y(x), ואז נגזיר את המשוואה בהתאם ל-x. כשנגזור ביטוי המכפלה xy נשתמש בכלל המכפלה ונחשיב את y כפונקציה של x: d/dx(xy)=y + x y'.

דוגמה פשוטה היא המעגל x^2 + y^2 = 1. נגזרתי: 2x + 2y y' = 0. מפה מתקבל y' = -x / y. כך מוצאים את קצב השינוי של y ביחס ל-x בלי לפתור במפורש עבור y.


אפשר גם לכתוב את המשוואה בצורת F(x,y)=0. "נגזרת חלקית" פירושה נגזרת לפי משתנה אחד תוך שמירה על האחר קבוע. מכאן נקבל את הדיפרנציאל dF = F_x dx + F_y dy = 0. נחלק ב-dx ונבודד dy/dx לקבל:

dy/dx = - F_x / F_y.

דוגמה מורכבת יותר: אם sin(xy)=ln(x^2+y^2), נבנה F(x,y)=sin(xy)-ln(x^2+y^2). מחשבים את הנגזרות החלקיות F_x ו-F_y, ומציבים בנוסחה שלמעלה. מתקבלת ביטוי מפורט עבור dy/dx כנגזרת יחסית של שני הביטויים החלקיים.


אם המשוואה כוללת משתנים נוספים, מעבירים את כל האיברים לאגף אחד ומגדירים G(x,y,...) = 0. לאחר מכן נגזור את G לפי המשתנה המבוקש ולפי המשתנה התלוי. כלל כללי הוא:

F'_x = - G'_x / G'_F

הנוסחה הזו מאפשרת למצוא נגזרות של משתנה אחד לפי אחר גם כאשר יש יותר ממשתנה אחד.


לעיתים הנגזרת של משתנה לפי משתנה אחר תלויה בערכים של המשתנה עצמו. כדי לקבל ערך מספרי בנקודה נתונה, יש להציב תחילה את הערכים במשוואה המקורית ולמצוא את שאר המשתנים, ואז להציב אותם בביטוי הנגזרת.

פונקציה סתומה היא משוואה שמקשרת בין x ו-y, ולא פירטה כ-y= משהו.

דוגמה ידועה היא המעגל x^2+y^2=1. המשוואה הזו אומרת שמקומות על המעגל מקיימים את הנוסחה. יש שתי אפשרויות ל-y עבור כל x.

כדי למצוא איך y משתנה כש-x משתנה, ניתן לגזור את שני צדי המשוואה. למשל במעגל מקבלים 2x + 2y y' = 0 ולכן y' = -x/y. y' הוא קצב השינוי של y ביחס ל-x.

דרך כללית יותר היא לכתוב את המשוואה כ-F(x,y)=0. "נגזרת חלקית" היא מדד לשינוי לפי משתנה אחד בלבד. הנוסחה הפשוטה שנקבל היא: dy/dx = -F_x / F_y. כלומר לוקחים את הנגזרת של F לפי x ולפי y, ואז מחלקים עם סימן מינוס.

אם יש עוד משתנים במשוואה, מעבירים הכל לאגף אחד ומגדירים פונקציה חדשה. לאחר מכן גוזרים לפי המשתנה שרוצים ומפשטים. כדי לחשב מספר בבירור בנקודה, צריך קודם למצוא את ערכי המשתנים באותה נקודה.


עקומים ידועים שמופיעים כך הם הלמניסקטה של ברנולי ושבלול פסקל.