פאון הוא גוף תלת־ממדי המורכב מפאות היוצרות גוף קשיח וסגור. באנגלית גוף תלת־ממדי נקרא polyhedron, וגופים מממד גבוה נקראים polytope (גוף רב־ממדי).
יש חמישה פאונים אפלטוניים ידועים: ארבעון (טטרהדרון, 4 פאות משולשות), קובייה (6 פאות ריבועיות), תמניון (8 פאות משולשות), תריסרון (דודקהדרון, 12 פאות מחומשות) ועשרימון (איקוסהדרון, 20 פאות משולשות).
קבוצה קרובה היא הפאונים הארכימדיים. יש 13 פאונים ארכימדיים, ושתי צורות נוספות בעלות כיווניות שונה, ולכן בסך הכל 15 צורות שונות. מנסרות ופירמידות אינן פאונים משוכללים כי פאותיהן אינן זהות. הפאונים האפלטוניים והארכימדיים, יחד עם מנסרות ואנטי־מנסרות, מכונים לעיתים משוכללים למחצה.
בשנת 1900 הציג דויד הילברט את רשימת הבעיות שלו. הבעיה השלישית שאלה אם אפשר להמיר פאון אחד לפאון אחר באותו שטח באמצעות חיתוך והרכבה. מקס דן הוכיח שהתשובה שלילית.
המונחים בשמות הפאונים מקורם ביוונית ובלטינית. קפלר קבע כללים לשמות אלה, ולכן שמות רבים נראים דומים ומבלבלים.
שמות הפאונים נבנים מתחיליות יווניות לציון מספר הפאות, ועוד הסיומת '-הדרון'. דוגמאות חשובות: טטר- או ארבע- מצביע על 4 פאות (ארבעון), דקה- על 10 (תריסרון), איקוס- על 20 (עשרימון). אפשר לחבר תחיליות כדי לציין מספרים אחרים, לדוגמה איקוסידודקהדרון מצביע על חיבור של 20, 10 ו-2.
פאון יכול להיות משוכלל במובן שפאותיו משוכללות וחופפות. כאשר הפאות אינן משוכללות מוסיפים סיומת המתארת את צורת הפאה, למשל 'מחומש', 'מעוין' או 'דלתוני' (פאה בצורת דלתון).
יש פעולות שמייצרות פאונים חדשים מפאונים קיימים. הקצצה של פינות נקראת 'קטום' (truncated). פעולת ה-'קיס' (kis) מחליפה כל פאה במשולשים שמתחברים לנקודה במרכז הפאה. 'מסותת' (snub) מחליף כל מקצוע בזוג משולשים; תהליך זה כיווני, ולכן יש צורות ימניות ושמאליות שאינן חופפות. סיתות של דואליים יכול להניב את אותה צורה, לכן שמות כמו 'איקוסידודקהדרון מסותת' משקפים תהליכים אלה. פאונים 'מכוכבים' מתקבלים כאשר מושכים פאות החוצה עד שיצירתן מפגישה שוב, ופאונים 'מוגדלים' נוצרים בהארכת פאות.
פאון אינו חייב להיות תלת־ממדי: בעברית משתמשים במילה גם לגופים מממד גבוה יותר (polytope). עבור פאון בממדים שונים מגדירים את מספר הפאות בממדים השונים בעזרת f_i. הווקטור f=(f_0,f_1,f_2) מתאר מספר קודקודים, קשתות ופאות בפאון תלת־ממדי.
קיימת תכונה חשובה של ה-f-וקטור: כדי שוקטור של מספרים שלמים לאילם יהווה f-וקטור של פאון תלת־ממדי חייבים להתקיים שלושה תנאים. התנאי המוכר ביותר הוא נוסחת אוילר: מספר הקודקודים פחות מספר הקשתות ועוד מספר הפאות שווה 2. יש גם שתי אי־שוויוניות נוספות שמגבילות את הערכים.
משפט קושי (Cauchy) קובע שפאון קמור תלת־ממדי הוא קשיח, כלומר אי־אפשר לשנות את צורתו בלי לשנות פאות. עם זאת קיימים פאונים לא־קמורים גמישים. הראשון שמנע חיתוך עצמי הוצג בשנת 1977 על ידי רוברט קונלי והכיל 18 פאות. בהמשך נבנה פאון גמיש אחר שכלל 14 פאות משולשות.
פאון הוא גוף תלת־ממדי שמורכב מפאות. כל פאה היא משטח שטוח.
חמישה פאונים מיוחדים ידועים. לארבעון יש 4 פאות משולשות. לקובייה יש 6 פאות ריבועיות. לתמניון יש 8 פאות משולשות. לטריסרון (תריסרון) יש 12 פאות מחומשות. לעשרימון יש 20 פאות משולשות.
שמות הפאונים מבוססים על מספר הפאות. משתמשים בתחיליות יווניות ואז מוסיפים '-הדרון'. למשל 'ארבעון' אומר שיש 4 פאות.
יש פעולות שמחליפות חלקים בפאון. חיתוך פינות נקרא 'קטום'. פירוק פאה למשולשים נקרא 'קיס'. פעולה שנוצרת על ידי החלפת קשתות בזוגות משולשים נקראת 'מסותת'. לפעמים יש שתי גרסאות של צורה כזו, אחת שמאלית ואחת ימנית.
יש כלל פשוט למספרים: מספר הקודקודים פחות מספר הקשתות ועוד מספר הפאות שווה שתיים.
רוב הפאונים קשיחים. ב־1977 בנה הרוברט קונלי פאון גמיש שאינו חותך את עצמו. הוא הכיל 18 פאות.
תגובות גולשים