פאי

פאי (π) הוא המספר שמייצג את היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו. כלומר, אם מודדים את ההיקף ומחלקים בקוטר, תמיד מקבלים בערך 3.14159..., רצף ספרות שאינו מסתיים.

פאי הוא מספר אי-רציונלי; כלומר לא ניתן לכתוב אותו כמנה של שני מספרים שלמים. בנוסף הוא טרנסצנדנטי; כלומר לא ניתן לקבלו כפתרון של משוואה פולינומית פשוטה עם מקדמים שלמים. כתוצאה מכך הייצוג העשרוני שלו כולל אינסוף ספרות ללא מחזוריות קבועה.

האות היוונית π שימשה משום שהיא האות הראשונה במילה היוונית לפרימטרוס, שפירושה היקף. הסימון הזה אומץ רשמית במאה ה־18 על ידי ויליאם ג'ונס והפך לנפוץ בעקבות אוילר.

ידעו על קירובים ל־π עוד בבבל ובמצרים. המתמטיקאי ארכימדס שיפר את החישוב באמצעות שיטת המיצוי: הוא השווה היקפי מצולעים חוסמים וחסומים במעגל. כך הוא קיבל קירוב מדויק בהרבה.

מאוחר יותר הושגו קירובים טובים יותר: השבר 22/7 ושבר מדויק יותר 355/113. במאות ה־15, 17 מתמטיקאים כמו אל‑קאשי, לודולף ואחרים הרחיבו את מספר הספרות המוכרות. עם הופעת החשבון האינפיניטסימלי הוצעו נוסחאות אינסופיות שנותנות π בדיוק רב.

יש שיטות שונות לחישוב π: שיטות גאומטריות, טורים אינסופיים ונוסחאות מיוחדות של רמנוג'ן שמספקות קירוב מהיר. שיטת מונטה‑קרלו היא שיטה הסתברותית: מטילים נקודות אקראיות בריבוע ובודקים מהו היחס שנופל בתוך המעגל שבתוכו.

אלגוריתמים מודרניים, כמו אלגוריתם צ'ודנובסקי, מאפשרים לחשב מיליארדי ומאות מיליארדי ספרות. בשנים האחרונות שיאי חישוב נשברו שוב ושוב: במרץ 2019 חושבו מעל 31.4×10^{12} ספרות, באוגוסט 2021 מעל 62.8×10^{12},וב־2025 היוטיובר לינוס סבסטיאן השתמש בתוכנה y‑cruncher וחישב כ־3×10^{14} ספרות.

לקירובים פשוטים נפוצים: 3.14, 22/7 (≈3.1429) ו־355/113 (דיוק גבוה בהרבה). קיימים גם קירובים מבוססי שורשים ושברים משולבים, אך לשימוש יומיומי מספיק בדרך כלל 3.14.

יום פאי מצוין ב־14 במרץ (3.14). יש משחקים לשינון ספרות, חידות זיכרון ומשפטי זיכרון שבהם מספר אותיות המילים שווה לספרה המתאימה של π. גם בספרות ובקולנוע מופיע פאי מדי פעם.

נשארת שאלה חשובה: האם π הוא מספר נורמלי? כלומר האם הספרות שלו מפוזרות כאילו אקראיות, כאשר כל ספרה מופיעה בהסתברות שווה. עד כה לא ידוע אם זה נכון.

במקורות יהודיים עתיקים מופיע לעיתים קירוב של π כ‑3. יש הסברים שונים לכך: פעולות הלכתיות נועדו לפרקטיקה, ולא לדיוק מדעי. גם מפרשים מצביעים על שימוש בערכים מדויקים יותר במקומות אחרים.

פאי (π) הוא מספר שקושר בין היקף המעגל לקוטרו. אם מודדים היקף ומחלקים בקוטר, מקבלים בערך 3.14.

פאי קשה לתאר במדויק. הוא לא מסתיים ולא חוזר על עצמו במספרים אחרי הנקודה. זה נקרא "אי-רציונלי", לא אפשר לכתוב אותו כמנה פשוטה של שני מספרים.

אנשים ידעו על פאי כבר מזמן. ארכימדס השתמש במשולשים וריבועים כדי לקבל קירובים טובים יותר. לאחר כך מצאו עוד ושיטות טובות יותר.

יש שיטות מתמטיות ולפעמים מחשבים חישבו מיליארדי ספרות. דרך פשוטה להראות פאי היא הניסוי של בופון עם מחטים, או שיטה שבודקת נקודות אקראיות בתוך ריבוע ומחשבת יחס.

קירוב פשוט הוא 3.14. שבר מקובל הוא 22 חלקי 7. שבר מדויק יותר ידוע הוא 355 חלקי 113.

מדי שנה חוגגים את יום פאי ב־14 במרץ (3.14). אנשים משחקים במשפטים שמזכירים ספרותיו. יש גם אנשים ששיננו הרבה ספרות של פאי.

בספרים עתיקים מצאו קירובים כמו 3. זה נעשה מתוך נוחות לשימוש בהלכה, ולא בגלל טעות אלא כדי להקל על המדידה.