פונקציה דיפרנציאבילית

פונקציה דיפרנציאבילית היא פונקציה ממשית בכמה משתנים שיש לה קירוב ליניארי. הקירוב הליניארי נקרא דיפרנציאל.

פונקציה של משתנה אחד דיפרנציאבילית נקראת גם גזירה, ולparש זה פירושו שקיימת נגזרת, קצב השינוי.

יהי f מקבלת n מספרים ומחזירה מספר. הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה x0 אם אפשר לבטא
f(x0+Δx)=f(x0)+Σ_{i=1}^n (A_i+α_i(Δx))·Δx_i, כאשר A_i קבועים והפונקציות α_i(Δx) שואפות לאפס כשרוחב השינוי Δx שואף לאפס. בניסוח שקול, קיימת העתקה ליניארית J כך שהשארית היחסית ל־||Δx|| שואפת לאפס.

זה אומר שבסביבה של x0 אפשר לקרב את f על ידי פונקציה ליניארית, והטעות בקרוב היא זניחה ביחס לחלק הליניארי.

אם פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה, אז היא רציפה שם. יש לה נגזרות חלקיות, והמקדמים A_k הם הנגזרות החלקיות ∂f/∂x_k(x0).

במקרה של פונקציות הממירות לוקטורים, ההעתקה הליניארית J יחידה. המטריצה המייצגת שלה בבסיס הסטנדרטי היא מטריצת היעקובי של f בנקודה.

קיום נגזרות חלקיות בלבד אינו מבטיח דיפרנציאביליות או רציפות. לעומת זאת, אם הנגזרות החלקיות קיימות והן רציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה.

פונקציה היא חוק שמקבל כמה מספרים ומחזיר מספר. דיפרנציאבילית (פירוש: ניתנת לקירוב בקו ישר) משמעה:

ליד נקודה אפשר להחליף את הפונקציה בחוק פשוט וקווי. הטעויות שנשארות נהיות קטנות מאוד כשמשנים מעט את הקלט.

אם פונקציה דיפרנציאבילית, היא גם רציפה. יש לה נגזרות חלקיות (נגזרות חלקיות = כמה משתנה אחד משתנה כששאר קבועים), והמקדמים האלה הם בדיוק הנגזרות החלקיות.

לעתים יש נגזרות חלקיות אבל הפונקציה עדיין לא דיפרנציאבילית. אם הנגזרות החלקיות קיימות וגם רציפות, אז הפונקציה דיפרנציאבילית.