פונקציה הפיכה

פונקציה הפיכה היא פונקציה שיש לה פונקציה אחרת שמבטלת אותה. ההרכבה של שתי הפונקציות נותנת את פונקציית הזהות, כלומר כשמריצים אותן בזו אחר זו חוזר הערך המקורי.

כדי שפונקציה תהיה הפיכה צריך שני תנאים עיקריים. ראשית, היא חייבת להיות חד-חד-ערכית, כלומר, שני ערכים שונים אינם מועתקים לאותו ערך. אם לא כך, מאבדים מידע ולא ניתן לשחזר את הקלט. שנית, היא חייבת להיות על (surjective), כלומר, כל ערך בטווח חייב להיות תמונה של לפחות ערך אחד בתחום. אם היא לא על, אפשר לצמצם את טווח ההגדרה של ההופכית אל התמונה (הערכים שהפונקציה כן נותנת), ואז היא תהיה הפיכה בתחום זה.

תהי f ":" A → B פונקציה חד-חד-ערכית ועל. אז קיימת פונקציה f^{-1} ":" B → A שנקראת ההופכית, כך שמתקיים: לכל a ב‑A: f^{-1}(f(a)) = a, ולכל b ב‑B: f(f^{-1}(b)) = b. להופכית זו יש מבנה יחידי; לכן כותבים "ההופכית" ומשתמשים בסימון f^{-1}. כל פונקציה הפיכה היא גם חד-חד-ערכית ועל. הרכבה של שתי פונקציות הפיכות היא גם הפיכה. אוסף כל הפונקציות על קבוצה A יוצר חבורה שנקראת החבורה הסימטרית של A. אם יש הפיכה בין A ל‑B, אז ל‑A ול‑B אותה עוצמה (אותו גודל), וזה יחס שקילות.

שימו לב: הסימון f^{-1}(A) משמש גם עבור המקור ההפוך של קבוצה דרך f, וזה מקובל גם כאשר f אינה הפיכה. במקרה שהיא הפיכה, סימון זה מתלכד עם משמעות ההופכית.

אם f היא פונקציה הפיכה ורציפה וגזירה בנקודה x_0 ויש f'(x_0) ≠ 0, אז ההופכית f^{-1} גזירה בנקודה y_0 = f(x_0) ונגזרת ההופכית שווה לפונקציה ההפוכה של הנגזרת: (f^{-1})'(y_0) = 1 / f'(x_0). לדוגמה, עבור f(x)=√x נקודה מתאימה היא (b^2,b). הנגזרת של √x בנקודה x=b^2 היא 1/(2b), ולכן נגזרת ההופכית בנקודה b היא 2b.

ניסוח בלייבניץ עוזר לזכור: הנגזרת של ההופכית ב‑y_0 שווה ל־1 חלקי הנגזרת של f ב‑x_0, כאשר y_0 = f(x_0).

פונקציה הפיכה היא פונקציה שיש לה פונקציה שמחזירה את הכניסה. כלומר, מבצעים פעולה ואז מבצעים את הפעולה ההפוכה. חוזר בדיוק אותו מספר.

כדי שתהיה הופכית צריך שתי תכונות. ראשית, כל כניסה שונה נותנת תוצאה שונה. זו תכונה שנקראת חד-חד-ערכיות. שנית, כל תוצאה חייבת להגיע ממשהו בתחום. זו תכונה שנקראת על. אם לא מגיעים לכל התוצאות, אפשר לעבוד רק על אלה שמתקבלות.

אם f שולחת ערכים מקבוצה A לקבוצה B והיא חד-חד-ערכית ועל, אז קיימת פונקציה שנקראת f בחוזר (f^{-1}). חוקים פשוטים: אם מתחילים ב‑a ואז עושים f ואז f^{-1}, חוזרים ל‑a. אם מתחילים ב‑b ואז עושים f^{-1} ואז f, חוזרים ל‑b.

יש כלל לגבי שיפועים (נגזרות). אם ל‑f יש שיפוע במקום מסוים, לשיפוע של ההופכית יש את הערך ההפוך של השיפוע. בדוגמה: ההופכית של √x היא x^2. אם הנקודה היא b, אז הנגזרת של ההופכית שם היא 2b.