פונקציה על

פונקציה מקבוצה A לקבוצה B נקראת על (surjective) אם כל איבר בקבוצת ה־B מתקבל כערך של הפונקציה. כלומר, לכל איבר בטווח (Y) של הפונקציה יש לפחות איבר אחד בתחום (X) שממפה אליו. במונחים פשוטים: תמונת הפונקציה שווה לטווח שלה. לעיתים מסמנים זאת בכתיבה מיוחדת כדי להראות שפונקציה היא על.

הגדרה פורמלית: לכל y ב־Y קיים x ב־X כך ש־f(x)=y. הסימון הזה מראה שכל איבר בטווח מקבל מקור בתחום.

דוגמה: אם ממפים כל אדם לאימו, זו תהיה פונקציה על אם הטווח מוגדר כקבוצת נשים שיש להן ילדים. אך היא לא תהיה על אם הטווח הוא כל קבוצת הנשים, כי יש נשים שאין להן ילדים. לכן חשוב לציין תמיד על איזו קבוצה מוגדרת הפונקציה.

קיימות דוגמאות גרפיות שמראות פונקציה על, שבה לכל איבר בטווח יש מקור, ולצדן דוגמאות שבהן איבר בטווח חסר מקור.

עבור קבוצות סופיות: אם יש פונקציה על מ־A ל־B, אז מספר האיברים ב־B לא גדול ממספר האיברים ב־A. אם קיימת פונקציה חד־חד ערכית (injective), המספרים קשורים בכיוון ההפוך. אם קיימת פונקציה שהיא גם חד־חד ערכית וגם על (bijection), אז שתי הקבוצות מכילות אותו מספר איברים.

בהתבסס על רעיון זה, גאורג קנטור בנה שיטה להשוואת קבוצות אינסופיות. הוא הגדיר את מושג העוצמה (cardinality), ואמר ששתי קבוצות שיש ביניהן פונקציה שהיא גם חד־חד ערכית וגם על הן שוות בעוצמה.

(כאן ניתן למצוא משפטים הנוגעים למבנים אלה בתורת הקבוצות.)

בתורת הקטגוריות, מורפיזם f:X→Y נקרא אפימורפיזם אם לכל אובייקט Z ולכל זוג מורפיזמים g,h:Y→Z מתקיים: אם g∘f = h∘f אז g = h. בקטגוריה של קבוצות, המושג אפימורפיזם מתאים בדיוק לפונקציות על. עם זאת, יש קטגוריות אחרות, כמו קטגוריית החוגים, שבהן קיימים אפימורפיזמים שאינם פונקציות על.

פונקציה על היא פעולה שמגיעה לכל אחד בקבוצה שמקבלים. קבוצה היא אוסף של פריטים. לכל איבר בטווח יש לפחות מקור בתחום.

כדאי לדעת: תחום זה המקום שממנו מגיעים הערכים. טווח זה המקום שאליו מפנים את הערכים.

דוגמה פשוטה: אם למפה כל אדם לאימו, זה יהיה על אם הטווח הוא רק נשים שיש להן ילדים. אם הטווח הוא כל הנשים, זה לא בהכרח על.

יש ציורים שמראו דוגמה שבה לכל איבר בטווח יש מקור. ויש ציור שבו לא לכל איבר יש מקור.

אם יש מיפוי שמכסה את כל קבוצת היעד בין קבוצות שיש להן סופי פריטים, אז קבוצת היעד לא יכולה להכיל יותר פריטים מהמקור. אם המיפוי הוא גם חד־חד ערכי וגם על, שתי הקבוצות יכולות להכיל אותו מספר פריטים.

כאן רושמים משפטים חשובים על קבוצות ומיפויים.

אפימורפיזם זו מילה מתמטית. בקבוצות זה אותו דבר כמו פונקציה על. בתורות אחרות זה יכול להיות שונה.