רציפות במידה שווה (uniform continuity) היא דרך להגיד שפונקציה אינה משנה את ערכיה מהר יותר במקום אחד מאשר במקום אחר. באופן פשוט: עבור מרחק קטן מסוים בין ערכי הפונקציה, יש מרחק אחיד אחד בין נקודות הקלט שמבטיח את זה בכל הקטע. זו לא תכונה נקודתית, אלא תכונה של כל הקטע יחד.
פונקציה רציפה בכל נקודה של הקטע אינה בהכרח רציפה במידה שווה. אך לפי משפט קנטור, אם הקטע סגור וחסום (כלומר כולו כולל גבולותיו), אז רציפות בכל נקודה מבטיחה גם רציפות במידה שווה.
תנאי פשוט שמבטיח רציפות במידה שווה הוא תנאי ליפשיץ. פונקציה שמקיימת תנאי ליפשיץ (קיים קבוע כך שהפרש הערכים לא עולה על קבוע כפול ההבדל בקלט) היא תמיד רציפה במידה שווה. לכן, פונקציה גזירה שהנגזרת שלה חסומה תהיה גם היא רציפה במידה שווה. ההופך לא תמיד נכון: יש פונקציות רציפות במידה שווה שאינן ליפשיץ.
עוד מקרה: אם פונקציה רציפה על קטע פתוח וסופיים, היא תהיה רציפה במידה שווה אם אפשר להרחיב אותה באופן רציף לגבולות הקטע, כלומר יש גבולות חד־צדדיים סופיים בנקודות הקצה.
הפונקציה שמחזירה כל מספר עצמו היא רציפה במידה שווה בכל הישר. אפשר לראות זאת מיד כי הפרש הערכים שווה בדיוק להפרש הקלטים.
על קטע סגור כמו [0,b] הפונקציה המעבירה מספר לערכו בריבוע היא רציפה במידה שווה, לפי משפט קנטור. אפשר גם להעריך שבאזור כזה הפרש הערכים קטן מקבוע כפול הפרש הקלטים, ולכן לבחור דלתא בהתאם.
אבל על הקרן [0,∞) הפונקציה x בריבוע אינה רציפה במידה שווה. אפשר להראות זאת על ידי בחירת נקודות רחוקות שבהן שינויים קטנים בקלט גורמים לשינוי גדול בערכים.
קיימים משפטים ולעיתים תנאים על פעולות כמו סכום, מכפלה והרכבה של פונקציות המשמרים רציפות במידה שווה. בנוסף יש הערות כלליות ומשפטים נוספים הנוגעים למבנים שונים.
ניתן להרחיב את ההגדרה למרחבים מטריים: מרחק בין נקודות במרחב X ומרחב Y. ההגדרה דומה: לכל סף בטעות בערך קיים סף אחיד במרחב המקור שמבטיח את הסף בערכים.
קיימת גרסה עבור חבורות טופולוגיות המתארת אחידות ביחס לפעולה החבורה. הגדרה זו חלה גם על מרחבים וקטוריים טופולוגיים.
ההגדרה ניתנת להכללה גם למרחבים אחידים, כך שהיא מכסה גם מרחבים מטריים וגם חבורות טופולוגיות.
מרחב מטרי שכל פונקציה רציפה ממנו אל כל מרחב מטרי אחר היא תמיד רציפה במידה שווה, נקרא מרחב Atsuji. לפי משפט מסוים (המוזכר כמשפט קושי), כל מרחב קומפקטי הוא Atsuji. מרחבים אלה מקושרים גם לתכונות שלמות ולהגדרות המבוססות על סכימות של קבוצות סגורות.
רציפות אומרת: אם נזיז מעט את הקלט, הערך ישתנה מעט. רציפות במידה שווה אומר שיש לכל כמות שינוי אפשרית מרחק אחד בלבד שיעבוד לכל הקטע. זה אומר שהפונקציה לא מתפרצת במקום מסוים.
אם הפונקציה רציפה על קטע שסגור וחסום (קטע שיש לו גבולות), אז היא גם רציפה במידה שווה. זה משפט חשוב שנקרא משפט קנטור.
תנאי נוח אחר הוא תנאי ליפשיץ. זה אומר שהשינוי בערך לא גדל מהר יותר מהשינוי בקלט. פונקציות שמקיימות תנאי זה בטוחות להיות רציפות במידה שווה.
הפונקציה שמחזירה כל מספר כפי שהוא היא תמיד רציפה במידה שווה.
הפונקציה שממירה מספר לערך שלו בריבוע היא גם רציפה במידה שווה בתוך קטע סגור כמו בין אפס ובין מספר מסוים. אך כאשר בודקים את כל המספרים החיוביים יחד, היא כבר לא רציפה במידה שווה.
ניתן לחשוב על רעיון זה גם במקום של מרחקים שאינם רק מספרים. ההגדרה דומה שם.
תגובות גולשים