פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

המונח "פונקציה זוגית" ניתן על ידי לאונרד אוילר בשנת 1727. השימוש הראשון במושג "פונקציה אי-זוגית" מופיע אצל תומאס לייבורן ב-1814. השמות מיוחסים גם להתנהגות של חזקות: f(x)=x^n היא זוגית אם n זוגי, ואי-זוגית אם n אי-זוגי.

הגדרה: פונקציה היא זוגית אם לכל x בתחום מתקיים f(x)=f(-x).
סימטריה: גרף של פונקציה זוגית סימטרי ביחס לציר ה-Y.
דוגמאות חשובות: פונקציה קבועה f(x)=a, הפרבולה f(x)=x^2, הקוסינוס f(x)=cos(x), והערך המוחלט f(x)=|x|. ("ערך מוחלט" הוא המספר בלי הסימן.)

הגדרה: פונקציה היא אי-זוגית אם לכל x בתחום f(-x)=-f(x).
סימטריה: גרף של פונקציה אי-זוגית מקבל סיבוב של 180 מעלות סביב הראשית.
דוגמאות חשובות: f(x)=x, f(x)=x^3, f(x)=sin(x), ו-f(x)=1/x.

כל פונקציה אמיתית ניתנת לכתיבה כסכום של חלק זוגי וחלק אי-זוגי.
החלק הזוגי הוא הממוצע של הערכים ב-x וב-(-x).
החלק האי-זוגי הוא חצי ההפרש בין הערכים ב-x וב-(-x).
ייצוג זה ייחודי.
לפונקציות שמקבלות ערכים מרוכבים משתמשים במקום זאת בהצמדה המרוכבת (f^*), ומקבלים נוסחאות מקבילות שמערבות את ההצמדה.

כפל של שתי פונקציות זוגיות נותן פונקציה זוגית.
כפל של שתי פונקציות אי-זוגיות נותן פונקציה זוגית.
כפל של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית נותן פונקציה אי-זוגית.
אם פונקציה זוגית ניתנת לגזירה, הנגזרת שלה היא אי-זוגית, ולהפך.

המילה "זוגית" הופיעה אצל אוילר ב-1727. "אי-זוגית" הופיעה ב-1814.

הגדרה קצרה: פונקציה זוגית נותנת את אותו ערך ל-x ול-(-x).
הסימטריה: הגרף שלה שווה משמאל ומימין של ציר ה-Y.
דוגמאות פשוטות: x^2, הקוסינוס, והערך המוחלט |x|.
(ערך מוחלט = המספר בלי הסימן.)

הגדרה קצרה: פונקציה אי-זוגית נותנת ערכים עם סימן הפוך ב-(-x).
הסימטריה: אפשר לסובב את הגרף 180 מעלות סביב הנקודה (0,0).
דוגמאות פשוטות: x, x^3, והסינוס.

כל פונקציה אפשר לחלק לשני חלקים: זוגי ואי-זוגי.
החלק הזוגי הוא הממוצע בין הערכים ב-x וב-(-x).
והחלק האי-זוגי הוא מה שנשאר אחרי שמורידים את הממוצע.

כפל של שתי זוגיות נותן זוגית.
כפל של זוגית ואי-זוגית נותן אי-זוגית.