פונקציית מחלקים

פונקציית מחלקים היא פונקציה אריתמטית, פונקציה שמקבלת מספרים שלמים ומחזירה ערכים הקשורים למחלקים של אותו מספר.

פונקולת כללית סימון \\sigma_x(n) מוגדרת כסכום כל המחלקים d של n, כשהם בחזקת x:
\\sigma_{x}(n)=\\sum_{d|n} d^x

המקרה x=0 סופר את מספר המחלקים, והוא מסומן גם ב- d(n) או ב- \\tau(n). כלומר \\sigma_{0}(n)=d(n). כאשר x=1 מקבלים את פונקציית סכום המחלקים, שנרשמת פשוט כ- \\sigma(n).

למספר ראשוני p יש בדיוק שני מחלקים, ולכן \\sigma_{0}(p)=2, ו- \\sigma_{1}(p)=p+1.

אם n מפורק לגורמים כ- n=\\prod_{i=1}^r p_i^{k_i}, אזי הפונקציה מתפרקת כמכפלה של סכומים גאומטריים:
\\sigma_x(n)=\\prod_{i=1}^r (1+p_i^x+...+p_i^{k_i x})=\\prod_{i=1}^r \\frac{p_i^{(k_i+1)x}-1}{p_i^x-1}

במיוחד מספר המחלקים הוא מכפלת (k_i+1).

יש זהויות טוריות שמערבות את פונקציית המחלקים. בין היתר טורי דיריכלה:\\
\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\sigma_a(n)}{n^s}=\\zeta(s)\\zeta(s-a)
\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{\\sigma_a(n)\\sigma_b(n)}{n^s}=\\frac{\\zeta(s)\\zeta(s-a)\\zeta(s-b)\\zeta(s-a-b)}{\\zeta(2s-a-b)}
וטור למברט של הפונקציה הוא:
\\sum_{n=1}^{\\infty} q^n \\sigma_a(n)=\\sum_{n=1}^{\\infty} \\frac{n^a q^n}{1-q^n}.

התנהגות פונקציית הסכום אינה סדירה. קצב הגידול נתון על ידי:
\\limsup_{n\\rightarrow\\infty} \\frac{\\sigma(n)}{n\\log\\log n}=e^{\\gamma}
כאשר \\gamma הוא קבוע אוילר. רמנוג'אן חקר פונקציית המחלקים ומצא זהויות נוספות הקשורות בה.

פונקציית מחלקים עוסקת במחלקים של מספרים.

הפונקציה לוקחת מספר וחושבת סכום של כל המחלקים שלו, כאשר אפשר להרים כל מחלקה בחזקה x.
אם x=0 היא סופרת כמה מחלקים יש. אם x=1 היא מסכמת את כל המחלקים.

מספר ראשוני הוא מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים: 1 והמספר עצמו.
במקרה כזה סכום המחלקים הוא p+1.

כשמפרקים מספר לגורמים ראשוניים, אפשר לחשב את הפונקציה על ידי הכפלה של חלקים פשוטים.
רמנוג'אן, מתמטיקאי מפורסם, חקר את הפונקציה ומצא קשרים מעניינים.

יש נוסחאות שמקשרות את הפונקציה לטורים אינסופיים. זה שימושי בתורת המספרים.

התנהגות הפונקציה לא אחידה. יחס מיוחד בין הסכום לבין n וללוגריתמים גדל עד לערך e בחזקת קבוע אוילר.