במסגרת חבורות, פעולה טרנזיטיבית היא מצב שבו קבוצת פעולות G יכולה להעביר כל נקודה x בקבוצה X לכל נקודה y ב-X. חבורה היא אוסף של פעולות או 'צעדים' שניתן להרכיב ולבטל. אם קיים תמיד g ב-G כך ש-g(x)=y, אומרים שהפעולה טרנזיטיבית.
כאשר הפעולה שומרת על מבנה נוסף של X (למשל גרף או מרחב מדידה), כל נקודות X דומות אחת לשנייה. במקרה זה X נקרא מרחב הומוגני. המייצב של נקודה x, G_x, הוא תת‑חבורה של כל ה־g שמותירים את x במקום. המייצב מגדיר את המרחב הקוסטים G/G_x, שמייצג את כל הנקודות של X ביחס ל־G.
ניתן להכליל את המושג ל־k נקודות שונות. אם לכל זוג סדרות של k נקודות שונות קיימת g שמעבירה כל נקודה מהקבוצה הראשונה לזהות המתאימה בשנייה, הפעולה היא k‑טרנזיטיבית. אם קיים איבר יחיד כזה, קוראים לפעולה חדה (שחולפת נקודות באופן חד־חד־ערכי). דוגמה חשובה: חבורת ההחלפות S_n היא n‑טרנזיטיבית וחדה; חבורת התמורות הזוגיות A_n היא (n−2)‑טרנזיטיבית וחדה.
פעולה מכונה טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא k‑טרנזיטיבית לכל k. אם עבור כל k יש רק מספר סופי של מסלולים של תתי־קבוצות בגודל k, הפעולה נקראת אוליגומורפית.
מיון כל הפעולות הטרנזיטיביות קשה מאוד, כי כל הזוגות H≤G נותנים פעולות על המנות G/H. עם זאת, אם מטילים הגבלות נוספות מקבלים תוצאות עמוקות בתורת החבורות.
קיימים ארבעה סוגים עיקריים של פעולות על קבוצות שסדרן הוא מספר ראשוני. בין הסוגים מופיעות חבורת ההחלפות וחבורת התמורות הזוגיות, חבורות אפיניות מסוימות, חבורות ליניאריות פרויקטיביות במקרים מיוחדים, וכמה מקרים ספורדיים כמו חבורות מתיו M_{11} ו‑M_{23}.
ברנסייד מיפה חבורות 2‑טרנזיטיביות סופיות ועיצב את החלוקה לשתי משפחות: חבורות כמעט פשוטות (כלומר סופיות ויש להן גרעין פשוט) וחבורות ממטיפוס אפיני (פועלות על מרחב וקטורי וכוללות הזזות). קיימת ספרות רחבה שמתארת כל מקרה.
תופעות של טרנזיטיביות גבוהה בקרב חבורה סופית נאמנה נדירות. ג'ורדן הראה שהתכונות החזקות מוגבלות לחבורות ספציפיות (רבות מהן מבוססות על S_n ו‑A_n). עבודות מאוחרות יותר ואמינות המיון של החבורות הפשוטות הראו שהחבורות ה"מיוחדות" המסוגלות להיות 4‑או‑5‑טרנזיטיביות כוללות בין היתר קבוצות מהמשפחה של חבורות מתיו כמו M_{11}, M_{12}, M_{23} ו‑M_{24}.
פעולה טרנזיטיבית היא מצב שבו קבוצת פעולות G יכולה להעביר כל נקודה x בקבוצה X לכל נקודה y בקבוצה. חבורה היא קבוצה של מהלכים שאפשר לשלב ולבטל. אם תמיד יש מהלך כזה, הפעולה נקראת טרנזיטיבית.
המייצב של נקודה הוא כל המהלכים שלא משנים אותה. אם מסתכלים על כל המהלכים ביחס לנקודה, מקבלים קבוצה שנקראת קוסטים.
אפשר לדבר על k‑טרנזיטיביות. זה אומר שאם בוחרים k נקודות שונות, תמיד אפשר למצוא מהלך שמעביר אותן ל־k נקודות שונות אחרות. לדוגמה, חבורת כל ההחלפות של n איברים יכולה לשלוח כל סדר של איברים לכל סדר אחר.
אם הפעולה מסוגלת לעשות זאת לכל k, קוראים לה טרנזיטיבית במידה רבה. חלק מהחבורות מפורסמות בכך שהן יכולות לבצע טרנזיטיביות ברמות גבוהות. כמה חבורות מיוחדות נקראות חבורות מתיו והן נדירות ומעניינות.
תגובות גולשים