פעולת חבורה

אחת הרעיונות המרכזיים בתורת החבורות היא פעולה של חבורה על קבוצה. פעולה כזאת פירושה שאפשר לראות כל איבר של החבורה כפונקציה מהקבוצה אל עצמה. מאחר שאיברי החבורה הפיכים, גם הפונקציות יהיו הפיכות (החלפה חד־חד־ערכית).

ניתן גם לתאר פעולה כהומומורפיזם מהחבורה G אל החבורה הסימטרית על X, S_X. אם ההעתקה זרה רק את איבר היחידה של G, אומרים שהפעולה נאמנה (כלומר רק היחידה משאירה את כל הנקודות במקום).

פעולה שמאלית מסומנת בדרך כלל ב־g·x. היא מקיימת חוקים טבעיים שמתאימים להכפלת איברים בחבורה.

פעולה ימנית מסומנת בדרך כלל ב־x·g. היא דומה במבנה לפעולה שמאלית אך מופעלת מצד הימין.

פעולה מחלקת את הקבוצה X למסלולים (orbits). המסלול של נקודה x הוא כל הנקודות שהן תמונות של x תחת איברי G. המייצב (stabilizer) של x הוא אוסף האיברים של G ששומרים על x במקומו. המייצב הוא תמיד תת־חבורה של G.

עבור חבורה סופית מתקיים יחס בין גודל המסלול לגודל המייצב: מספר האלמנטים שבמסלול שווה לאינדקס של המייצב בחבורה. אם הפעולה טרנזיטיבית, כל המסלולים זהים בגודלם.

בנוסף, מייצבים של נקודות שנמצאות באותו מסלול הם צמודים (conjugate) זה לזה.

החבורה הסימטרית S_n פועלת על הקבוצה {1,2,…,n} על ידי החלפות. כל חבורה פועלת על עצמה על־ידי כפל משמאל, זו הפעולה הרגולרית. אם H היא תת־חבורה של G, אז G פועלת על אוסף המחלקות השמאליות G/H על ידי כפל משמאל; זוהי דוגמה חשובה במשפט קיילי (Cayley), שאומר שכל חבורה מוטמעת בחבורה סימטרית.

פעולה חשובה אחרת היא ההצמדה (conjugation): g שולח את x לגרסה gxg^{-1}. פעולה כזו נפוצה בחקר מבנה החבורה.

כשחבורה פועלת על מרחב וקטורי, דורשים שאיברי החבורה יהיו העתקות ליניאריות. במקרה זה ההומומורפיזם נכנס ל־GL(V), חבורת המטריצות ההפיכות.

דוגמה גאומטרית ידועה היא החבורה הדיהדרלית של מצולע. היא כוללת סיבובים ושיקופים שמחליפים את קודקודי המצולע.

המסלולים יוצרים חלוקה של X. מרחב המנה הוא קבוצת כל המסלולים. נקודות קבועות (fixed points) הן אלה שמייצבן מכיל את כל G או חלק גדול ממנו. הלמה של ברנסייד מחברת בין מיצבי נקודות לספירת מסלולים בתצפיות קומבינטוריות.

לכל נקודה x מוגדרת תת־החבורה G_x שמקבעת אותה. החיתוך של כל ה־G_x הוא הגרעין של ההומומורפיזם של הפעולה. אם גרעין זה טריוויאלי, הפעולה נאמנה. פעולה חופשית היא כזו שלכל נקודה יש מייצב טריוויאלי בלבד.

סוגי המסלולים מתוארים על־ידי מחלקות צמידות של תתי־חבורות מייצבות, והסיווג הזה שימושי בניתוח הפעולות והמרחב שנוצר מהן.

פעולה של חבורה על קבוצה פירושה שאנשיי החבורה "מזיזים" איברים של הקבוצה. כל איבר של החבורה מתנהג כמו החלפה של איברים.

החבורה הסימטרית היא כל הדרכים לערבב את־הקבוצה. פעולה נאמנה אומרת שרק האיבר המיוחד (היחידה) לא מזיז כלום.

בפעולה שמאלית כותבים g·x כדי להגיד שאיבר g מזיז את x.

בפעולה ימנית כותבים x·g כדי להגיד שהזזת x נעשית מצד ימין.

המסלול של נקודה הוא כל המקומות שאפשר להגיע אליהם ממנה. המייצב הוא כל מי שגורם לנקודה להישאר במקום.

אם יש חבורה סופית, מספר המקומות במסלול קשור לגודל החבורה ולגודל המייצב.

S_n מחליפה את המספרים 1 עד n. חבורה יכולה לפעול על עצמה על־ידי כפל מצד שמאל. בחבורה של מצולע, הפעולות המותרות הן סיבוב ושיקוף; זו החבורה הדיהדרלית.

חבורה יכולה גם לפעול על דברים עם מבנה, כמו וקטורים. אז ההזזות חייבות להיות משמרות את המבנה.

המסלולים מחלקים את הקבוצה לחלקים נפרדים. נקודה קבועה היא כזאת שאף אחד לא מזיז אותה.

לכל נקודה יש את קבוצת האיברים שמקבעים אותה. זו תת־חבורה. אם רק האיבר המיוחד שומר על כל הנקודות, אומרים שהפעולה חופשית או נאמנה.