תת-סדרה

באנליזה מתמטית תת-סדרה (בחירה של איברים מהסדרה, בשמירת הסדר) של a_1,a_2,... מתקבלת על ידי בחירת אינדקסים עולים. למשל, אם a_n=1/n, יש את b_n=a_{2n}=1/(2n) ואת c_n=a_{2n^2+7}=1/(2n^2+7). כל סדרה היא תת-סדרה של עצמה, ותת-סדרה של תת-סדרה היא גם תת-סדרה של המקור.

תהי {a_n}_{n=1}^∞ סדרה, ותהי {n_k}_{k=1}^∞ סדרה ממש עולה של מספרים טבעיים. אז {a_{n_k}}_{k=1}^∞ נקראת תת-סדרה של {a_n}_{n=1}^∞. המספרים n_1,n_2,... הם האינדקסים של תת-הסדרה.

אינדקסי תת-הסדרה שואפים תמיד לאינסוף, לכן התנהגות התת-סדרה באינסוף קשורה בסדרה המקורית. מספר l נקרא גבול חלקי (partial limit) של {a_n} אם קיימת תת-סדרה שמתכנסת ל-l. הגבולות החלקיים נקראים גם נקודות הצטברות. l הוא גבול חלקי אם ורק אם בכל קטע פתוח סביבו יש אינסוף איברים של הסדרה. קבוצת נקודות ההצטברות היא קבוצה סגורה.

סדרה מתכנסת אם ורק אם כל הגבולות החלקיים שלה שווים. כך למשל a_n=3+1/\sqrt{n} מתכנסת ל-3, ולכן כל תת-סדרה שלה גם מתכנסת ל-3. מצד שני c_n=4+(-1)^n+1/n מתנהגת מתנועתית ולא מתכנסת, אך תת-הסדרה הזוגית d_n=c_{2n}=5+1/(2n) מתכנסת ל-5. בכל מקרה, לכל סדרה יש לפחות גבול חלקי אחד: אם הסדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת (משפט בולצאנו-ויירשטראס), ואם אינה חסומה אפשר לבנות תת-סדרה השואפת ל+∞ או -∞.

הגבול העליון (limsup) של סדרה חסומה מוגדר כחסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים שלה. אפשר להראות ש-limsup עצמו הוא גבול חלקי ומייצג את הגבול החלקי המקסימלי. בדומה, liminf הוא החלקי המינימלי. אם הסדרה אינה חסומה, limsup או liminf יכולים להיות +∞ או -∞ בהתאמה.

עוד צורה להגדרה: נגדיר b_m=
\sup\{a_m,a_{m+1},a_{m+2},...\}. סדרת החסמים העליונים (b_m) יורדת ולכן מתכנסת; הגבול שלה הוא בדיוק limsup של (a_n).

תת-סדרה היא כשמגשירים חלק מהאיברים של סדרה ושומרים על הסדר. למשל, אם a_n=1/n, אפשר לקחת את כל האיברים הזוגיים ולקבל b_n=1/(2n). סדרה היא גם תת-סדרה של עצמה.

כדי לבנות תת-סדרה בוחרים רשימה עולה של מספרי מיקום n_k. התת-סדרה היא a_{n_k}. המספרים האלה נקראים אינדקסים, והם אומרים איזה איבר לקחת.

אינדקסים הולכים לאט לאט לאינסוף. מספר l נקרא גבול חלקי אם יש תת-סדרה שמתקרבת ל-l. נקודות הצטברות זה עוד שם לגבולות חלקיים. אם כל תת-סדרה שמתקרבת מגיעה לאותו מספר, אז כל הסדרה מתכנסת לאותו מספר.

דוגמה: a_n=3+1/\sqrt{n} מתקרבת ל-3. לכן גם תת-הסדרה a_{n^2} מתקרבת ל-3. דוגמה אחרת: יש סדרה שמשתנה בין מספרים; אבל אם נחליף ונבחר רק את האיברים הזוגיים נקבל תת-סדרה שעשויה להתקרב למספר אחר.

גבול עליון (limsup) הוא המספר הכי גדול שהסדרה יכולה להתקרב אליו כתת-סדרה. גבול תחתון (liminf) הוא המספר הכי קטן כזה. אפשר לחשוב על זה גם כך: לכל מקום בהמשך הסדרה מסתכלים מהו המספר הכי גדול שנותר, ומקבלים סדרת מספרים שיורדת. הגבול של סדרת המספרים ההיא הוא ה-limsup.