הלמה של פאטו

במתמטיקה, למת פאטו קושרת דרך אי-שוויון בין האינטגרל של הגבול התחתון של סדרת פונקציות לבין הגבול התחתון של האינטגרלים שלהן. כאן "אינטגרל" מתייחס לאינטגרל לפי לבג, ו-"liminf" הוא הגבול התחתון (הערך שהמינימוםים בני הסדרה נוטים אליו).


אם f_1,f_2,... היא סדרה של פונקציות אי־שליליות ומדידות, אז מתקיים:

∫ liminf_{n→∞} f_n ≤ liminf_{n→∞} ∫ f_n


הרעיון של ההוכחה מבוסס על משפט ההתכנסות המונוטונית, שאומר שאם יש סדרה עולה של פונקציות אי־שליליות, אפשר להעביר את הגבול אל תוך האינטגרל. כדי להשתמש בו מגדירים סדרה חדשה g_n כ-

g_n = inf{f_n,f_{n+1},f_{n+2},...} (האינספימום של הזנב של הסדרה).

כל g_n היא פונקציה שאינה גדולה מהקודמת, והמובהק כאן הוא שסדרת g_n היא עולה (כל g_n ≤ g_{n+1}). הגבול של g_n הוא בדיוק liminf של f_n. לכן לפי משפט ההתכנסות המונוטונית אפשר להחליף גבול ואינטגרל על g_n, ומכך מקבלים את אי־השוויון של למת פאטו.


בחלק ההפוך מניחים שיש פונקציה אינטגרבילית g כך ש-|f_n| ≤ g לכל n. מגדירים h_n = g - f_n, שהן פונקציות אי־שליליות. מפעילים את למת פאטו על h_n ומעבדים את האי־שוויונות כדי לקבל:

limsup_{n→∞} ∫ f_n ≤ ∫ limsup_{n→∞} f_n

כאן limsup הוא הגבול העליון (הערך שהמקסימוםים בני הסדרה נוטים אליו).


אם f_n מתכנסת נקודתית ל-f, אז liminf ו-limsup שווים ל-f. משתי ההשוואות הנ״ל נובע שלמעשה ∫f = lim_{n→∞} ∫f_n, כלומר האינטגרלים מתכנסים לאינטגרל של הגבול.

למת פאטו אומרת משהו על אינטגרלים של סדרת פונקציות. אינטגרל הוא דרך לחשב שטח מתחת לגרף.


אם יש סדרה של פונקציות שאינן שליליות ונמדדות, אז האינטגרל של הגבול התחתון שלהן קטן או שווה לגבול התחתון של האינטגרלים. "גבול תחתון" (liminf) הוא הערך שהחלקים הקטנים של הסדרה מתקרבים אליו.


בוחרים פונקציות חדשות g_n כערך המינימום של f_n, f_{n+1},... . הן יוצרות סדרה עולה. משפט חשוב שאומר שאם סדרה עולה אז אפשר להחליף את הגבול עם האינטגרל, מאפשר לסיים את ההוכחה. כך מקבלים את אי־השוויון של למת פאטו.


אם כל f_n חסומות על ידי פונקציה g שאותה אפשר לאינטגרל, אז אפשר להחליף את f_n ב-g-f_n ולהפעיל את למת פאטו. נקבל שגבול העליון של האינטגרלים קטן או שווה לאינטגרל של הגבול העליון. "גבול עליון" (limsup) הוא הערך שהחלקים הגדולים של הסדרה מתקרבים אליו.


אם הפונקציות f_n מתקרבות לנקודה לנקודה לפונקציה f, אז גם האינטגרלים שלהן מתקרבים לאינטגרל של f.