מטריקה רימנית
מטריקה רימנית קובעת איך למדוד אורכים וזוויות על שטח חלק. המרחב המשיק הוא המקום שבו מסתכלים על כיוונים בנקודה. המטריקה היא חוק שנותן מספר לכל זוג כיוונים. בעזרת המטריקה אפשר למדוד את האורך של קו. מרחק בין שתי נקודות הוא האורך הקצר ביותר בין שתיהן. כך המטריקה אומרת לנו מי קרוב ומי רחוק. המטריקה גם נ...
מטריקה
מטריקה היא חוק שאומר כמה מרוחק דבר אחד מדבר אחר. היא נותנת מספר לא שלילי לכל זוג נקודות. היא חייבת לקיים שלוש כללים: אם המרחק אפס אז זו אותה נקודה. המרחק לא משתנה אם מחליפים ביניהן את הנקודות. הדרך הישירה לא יכולה להיות ארוכה יותר מדרך שעוברת דרך נקודות ביניים. נתינה של קבוצת נקודות ו"חוק מרחק" בין...
אקונומטריקה
אקונומטריקה בודקת קשרים כלכליים עם מספרים וסטטיסטיקה. זה עוזר להבין ולחזות שינויים. הכלכלה שמודדת כך בוחנת האם תאוריות נכונות על ידי בדיקות עם נתונים. כדי למדוד מודל צריכים תנאים מתאימים. אז משתמשים ברגרסיה. רגרסיה היא בדיקה שמראה אם שני דברים קשורים. כלכלן בישראל חושב שאם האבטלה עולה, האינפלצי...
סמל כריסטופל
סמל כריסטופל הוא אוסף של מספרים שמספרים איך המרחב או המרחב-זמן "מתעקם". הם קשורים לסוג של קשר שנקרא לוי-צ'יוויטה. קשר זה מסביר איך משווים וקטורים בנקודות שונות. וקטור הוא חץ עם כיוון ואורך. במערכת קואורדינטות, וקטורי הבסיס משתנים ממקום למקום. סמלי כריסטופל אומרים איך וקטורי הבסיס משתנים. יש להם שתי...
מרחב מטריזבילי
מרחב טופולוגי נקרא מטריזבילי אם אפשר למדוד מרחקים בו. מטריקה היא פונקציה שמודדת מרחק בין נקודות. יש משפט של אוריסון שאומר: אם המרחב יודע להפריד נקודות היטב (T3) ויש לו בסיס מנייה, אז אפשר להגדיר עליו מטריקה. משפט נגאטה, סמירנוב מרחיב את זה. הוא דורש בסיס שמאורגן כאיחוד של אוספים ש"סופיים באופן מקו...
טופולוגיה דיסקרטית
בטופולוגיה, הטופולוגיה הדיסקרטית היא מצב שבו כל קבוצה פתוחה. טופולוגיה היא חוק שאומר אילו קבוצות פתוחות. כל תת־קבוצה נחשבת פתוחה כאן. אפשר לתאר אותה בעזרת מטריקה דיסקרטית. מטריקה היא דרך למדוד מרחקים. במטריקה הזו המרחק בין שתי נקודות שונות הוא תמיד אותו דבר. המרחב הדיסקרטי עומד בהרבה תכונות חשובות...
הורדה והעלאה של אינדקסים
יש כלי בגיאומטריה שנקרא מטריקה. מטריקה אומרת כמה דברים ארוכים או קרובים זה לזה. בכל נקודה על משטח יש "קווים אפשריים". האוסף שלהם נקרא מרחב המשיק. יש גם אוסף של כל הפונקציות שמודדות קווים אלו. קוראים לו המרחב הקו-משיק. המטריקה מקשרת בין שני קווים ומוציאה מספר. אפשר לכתוב אותה באמצעות מספרים שלוב...
קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית
גאומטריה דיפרנציאלית (גד"ר) בוחנת מרחבים חלקים. מרחב חלק (יריעה חלקה) הוא מקום שנראה כמו עקומה או משטח. זה כולל עקומות, משטחים והיפר-משטחים. על המרחבים מוסיפים כלים כמו מטריקה. מטריקה היא דרך למדוד מרחקים....
מרחב מטרי
מרחב מטרי הוא קבוצה שיש עליה דרך למדוד מרחקים. הדרך הזאת נקראת מטריקה. מטריקה אומרת כמה שתי נקודות קרובות או רחוקות. הישר הוא דוגמה פשוטה: המרחק בין מספרים מוכר לכולנו. גם המישור או המרחב סביבנו הם דוגמה. על כדור אפשר למדוד מרחק על ידי הקשת הקצרה שמחברת שתי נקודות. אפשר גם להגדיר מטריקה פשוטה: מרחק...
הסכם הסכימה של איינשטיין
טנזור הוא ארגז של מספרים. כל מספר מקושר לתווית שנקראת אינדקס. דרגת הטנזור אומרת כמה תוויות יש. יש שני סוגי אינדקסים. אינדקס עליון ואינדקס תחתון. אפשר לשנות אינדקס עליון לתחתון בעזרת מטריקה. מטריקה היא כמו טבלה שמגדירה מרחקים. חוק האיינשטיין אומר: אם אותו אינדקס מופיע פעם למעלה ופעם למטה, מסכמים ...
מרחק
מרחק הוא כמה רחוק שני דברים זה מזה. על קו המספרים המרחק בין שני מספרים הוא הערך המוחלט של ההפרש. ערך מוחלט אומר כמה גדול המספר בלי המינוס. בעולם בתלת-ממד יש נוסחה לחישוב מרחק בין שתי נקודות. המרחק הוא אורך הקו הישר הקצר ביותר שמחבר בין שתי נקודות. בחישוב מידע יש מרחק שנקרא מרחק הימינג. זה מספר ה...
מרחב חסום לחלוטין
מרחב מטרי הוא מקום שבו מודדים מרחקים בין נקודות. מרחב חסום לחלוטין הוא כזה שאפשר לכסות אותו בכמה כדורים בודדים לכל רדיוס קטן. כל מרחב חסום לחלוטין הוא גם חסום. דוגמה: במטריקה דיסקרטית בין שני מספרים שונים המרחק הוא 1. המרחב הזה חסום, אבל לא חסום לחלוטין. למה? כי אם הכדורים קטנים מאוד, כל כדור יכיל ...
מרחק (תורת הגרפים)
מרחק בגרף הוא מספר הקשתות במסלול הקצר ביותר. קשת היא קו שמחבר בין שתי נקודות. אם אין דרך בין הצמתים, המרחק נחשב אינסופי, כלומר אין מסלול. בגרף ממושקל לכל קשת יש משקל. משקל הוא מספר שאומר כמה הקשת "אורכת". מרחק בודק את סכום המשקלים ובוחר את המסלול עם הסכום הקטן ביותר....
יריעה חלקה
יריעה חלקה היא מקום שבו כל נקודה נראית כמו חלק קטן מהמישור. מפה היא דרך להמיר חלק מהיריעה לנקודה ב-R^n. אוסף מפות שמתאימות אחת לשנייה נקרא אטלס דיפרנציאלי. היריעה חשובה כי מאפשרת לעשות חישובים כמו במישור. אפשר להוסיף לה מבנים נוספים. לדוגמה, אם שמים עליה חוקי כפל חלקים, מקבלים חבורה מיוחדת. יש דרך...
מרחב נורמי
מרחב נורמי הוא מקום עם וקטורים. נורמה היא דרך למדוד אורך של וקטור. היא נותנת תמיד מספר חיובי, שווה אפס רק בווקטור האפס, ומשתנה נכון כשמכפילים במספר. עוד כלל חשוב הוא אי־שוויון המשולש: אורך סכום לא גדול מסכום האורכים. מרחב בנך הוא מרחב נורמי שהוא שלם (אין בו 'חורים'). שתי נורמות שקולות אם אפשר להשוות...
משפט אוריסון
משפט אוריסון אומר כך: אם יש לנו מקום טופולוגי עם שתי תכונות חשובות, אפשר להגדיר בו מרחק. התכונות הן פרקטיות: אפשר להפריד נקודות מסוימות, ויש רשימה קטנה של קבוצות שמבנה את המקום. = הוכחה = = סכמת ההוכחה = 1. הופכים את המקום לנורמלי. נורמלי כאן אומר שיכולים להפריד שתי קבוצות סגורות. 2. בונים העתק של ה...
מדידה והערכה
מדידה היא שמים מספרים על תכונות. כך יודעים כמה משהו גדול או קטן. יש הבדל בין מדעים מדויקים למדעי החברה. בפיזיקה מודדים ביחידות ברורות. במדעי החברה משתמשים בדרכים שונות. כל מדידה צריכה כלי מדידה. כלי מדידה זה מכשיר או שיטה. צריך גם אמת מידה. אמת מידה היא ה"מפתח" להשוואה. דוגמה: משקל. מאזניים הם כל...
אי-שוויון המשולש
אי-שוויון המשולש אומר: המרחק מ-A ל-C קטן או שווה למרחק מ-A ל-B ועוד מ-B ל-C. כאן מרחק הוא איך שמודדים כמה שתי נקודות רחוקות זו מזו. זה כמו במשולש: צלע אחת תמיד קצרה או שווה לשתי צלעות אחרות יחד. על הקו של המספרים משתמשים בערך מוחלט. ערך מוחלט הוא המרחק של מספר מהאפס. אז |a-c|≤|a-b|+|b-c| לכל a,b,c....
קוטר
קוטר של מעגל הוא קטע שעובר במרכז המעגל. קטע כזה נקרא מיתר. אורך הקוטר הוא כפול מהרדיוס. רדיוס הוא הקטע מהמרכז לנקודה על המעגל. בגרפים (רשת נקודות וקווים) קוטר הוא המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות. מרחק אומר כמה צריך ללכת בדרך הקצרה. ברעיון כללי במרחב מטרי, מקום שבו מודדים מרחקים, הקוטר הוא הגבול ה...
מרחב טופולוגי
מרחב טופולוגי הוא דרך לארגן נקודות ולדבר על קרבה והפרדה. יש אוסף נקודות וקבוצה של קבוצות שאותן קוראים "פתוחות". (פתוחה, קבוצת נקודות שאותה מאפשרים לשקול בלי לצאת ממנה.) כללים פשוטים חייבים להתקיים: ריקה וכל היחידה (כל הנקודות) פתוחות, איחוד של פתוחות פתוח, וחיתוך של שתי פתוחות פתוח. קבוצה שהמשלים ש...
קבוצה פתוחה
קבוצה פתוחה היא קבוצה ש"יש לה סביב כל נקודה כדור". כדור זה הוא כל הנקודות שקרובות למרכז עד מרחק קבוע. מרחב מטרי הוא מקום עם מדד מרחק בין נקודות. אם לכל נקודה בקבוצה אפשר למצוא כדור קטן שנשאר בתוך הקבוצה, הקבוצה פתוחה. אנשים אומרים שזה אומר שאין "קצוות": אפשר לזוז קצת מכל נקודה בלי לצאת. דוגמה פשוטה:...
מרחב מכפלה פנימית
זוהי דרך לחבר שני וקטורים. וקטור הוא סדרה של מספרים, כמו (x1,x2,x3). מכפלה זו לוקחת שני וקטורים ומחזירה מספר. לדוגמה, לוקטורים בשלוש מידות: \lang (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3. זה נקרא "מכפלה סקלרית". היא עוזרת למדוד אורך וזווית. אורך של וקטור מחושב כך: \|x...
איזומטריה
איזומטריה היא דרך לשנות מיקום של נקודות בלי לשנות את המרחקים ביניהן. מרחב מטרי זה קבוצה של נקודות עם כלל למדידת מרחקים. איזומטריה ממפה כל זוג נקודות כך שהמרחק ביניהן נשאר אותו דבר. אז לא אפשר לשבור מרחקים. אם מפתחים את כל האיזומטריות למרחב לעצמו, מקבלים קבוצה שנסגרת תחת הרכבה של העברות. במישור וב...
עץ (תורת הגרפים)
עץ הוא גרף בלי מעגלים. גרף זה נקודות וקווים שמחברים ביניהן. לעץ יש קווים ונקודות. אין בו קווים שמסביבים לעצמם. יש ענפים, הקווים. יש עלים, נקודות בקצה שאין להן עוד חברים. אם בוחרים נקודה וגורם לה לשמש שורש, אפשר לראות את העץ גדל מהשורש. אז יש הורים ובנים: הורה הוא הנקודה שלפני, ובנים הם אלה שאחרי...
קואורדינטות גליליות
קואורדינטות גליליות הן דרך לומר איפה נקודה נמצאת במרחב. קואורדינטה היא דרך למדוד מקום. גליליות אומרות שאנחנו מסתכלים על המרחב כמו על גליל. ממדים: מרחק מהציר (קוראים לו רו), זווית מסביב (קוראים לה תטא), וגובה למעלה־מטה (קראו לו z). המרחק והזווית מסבירים איפה על הסיבוב, והגובה מסביר כמה גבוה. וקטו...
קואורדינטות כדוריות
זו דרך לספר בדיוק איפה נקודה נמצאת במרחב תלת־ממדי. משתמשים בשלושה דברים: מרחק וזוג זוויות. ראשית הצירים היא הנקודה שממנה מודדים (המרכז). ר (r) הוא המרחק מהמרכז. θ היא הזווית בין הקו לנקודה וציר z. φ היא הזווית סביב ציר z. יש שלושה כיוונים עיקריים: לכיוון החוצה (רדיואלי), למעלה־מטה של הזווית, ולסיב...
כדור (טופולוגיה)
במרחב metrי (מרחב שבו מודדים מרחק) כדור הוא כל הנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מרדיוס נתון. כדור פתוח עם רדיוס r ומרכז p מסומל B_r(p). זה אומר: כל נקודה שהמרחק שלה מ-p קטן מ-r שייכת לכדור. כאן d היא פונקציית המרחק, שהיא דרך למדוד מרחק בין נקודות. במישור הרגיל, המרחק הוא אורך הקו הישר שמחבר בין שתי נקו...