קוטב הוא מקום שבו פונקציה מרוכבת הולכת לאינסוף. פונקציה מרוכבת היא פונקציה שמקבלת מספרים עם חלק מדומה.
אם בקרבת נקודה z0 הפונקציה מתנהגת טוב אבל בערך של z0 היא שואפת לאינסוף, זו נקראת נקודת קוטב. אנליטית פירושו שאפשר לכתוב את הפונקציה כסדרה של חזקות קרובה לנקודה.
סדר הקוטב הוא מספר n הקטן ביותר שעושה את (z-z0)^n f(z) סופי ולא אפס.
לקוטב מסדר 1 קוראים קוטב פשוט. בשארית של קוטב פשוט מחשבים את המספר שמקבלים מ-(z-z0)f(z) כשמתקרבים לנקודה.
סביב קוטב מסדר n הפונקציה ניתנת לכתיבה כסדרה שמתחילה ב-(z-z0)^{-n}. אם מכפילים ב-(z-z0)^k אז:
- אם k- אם k=n מקבלים את מקדם החזקה השלילית.
- אם k>n מקבלים 0.
- 1/z^n יש קוטב מסדר n ב-0.
- 1/(1-
cos z) יש קוטב מסדר 2 ב-0, בגלל טור טיילור של cos.
- e^{1/z} ב-0 יש סינגולריות עיקרית, לא קוטב.
פונקציה מרומורפית היא פונקציה שכל הסינגולריות שלה הן קטבים.
אם בקרבת נקודה z0 הפונקציה מתנהגת טוב אבל בערך של z0 היא שואפת לאינסוף, זו נקראת נקודת קוטב. אנליטית פירושו שאפשר לכתוב את הפונקציה כסדרה של חזקות קרובה לנקודה.
סדר הקוטב הוא מספר n הקטן ביותר שעושה את (z-z0)^n f(z) סופי ולא אפס.
לקוטב מסדר 1 קוראים קוטב פשוט. בשארית של קוטב פשוט מחשבים את המספר שמקבלים מ-(z-z0)f(z) כשמתקרבים לנקודה.
סביב קוטב מסדר n הפונקציה ניתנת לכתיבה כסדרה שמתחילה ב-(z-z0)^{-n}. אם מכפילים ב-(z-z0)^k אז:
- אם k
- אם k>n מקבלים 0.
- 1/z^n יש קוטב מסדר n ב-0.
- 1/(1-
cos z) יש קוטב מסדר 2 ב-0, בגלל טור טיילור של cos.
- e^{1/z} ב-0 יש סינגולריות עיקרית, לא קוטב.
פונקציה מרומורפית היא פונקציה שכל הסינגולריות שלה הן קטבים.
עדיין אין תגובות. היה הראשון להגיב!
תגובות גולשים