קטגוריה (מתמטיקה)

במתמטיקה, קטגוריה היא מסגרת כללית שמאפשרת לתאר אובייקטים מופשטים ותהליכים ששומרים על המבנה שלהם. קטגוריות קיימות כמעט בכל ענף מתמטי, והחקר שלהן נקרא תורת הקטגוריות.

קטגוריה Σ מורכבת מאובייקטים ומהמרפיזמים ביניהם. מורפיזמים הם מפות בין אובייקטים, ולעיתים קוראים להם חיצים. מסמנים את קבוצת האובייקטים ב-Ob(Σ). קטגוריה נקראת קטנה אם Ob(Σ) היא קבוצה אמיתית.

בקטגוריית החבורות, מונומורפיזם (מורפיזם חד-חד-ערכי) הוא הומומורפיזם חד-חד-ערכי. אפימורפיזם הוא הומומורפיזם על.

המונחים מונומורפיזם ואפימורפיזם משמשים לתיאור מאפיינים של חצים בקטגוריה, כפי שמודגם בקטגוריות כמו חבורות וקבוצות.

בקטגוריית הקבוצות, הקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי. יחידון (קבוצה בעלת איבר אחד) משמש כאובייקט סופי. בקטגוריית החבורות, החבורה הטריוויאלית מהווה אובייקט אפס; למרות שהן איזומורפיות, קיימות אינסוף חבורות טריוויאליות שונות בהקשר של קבוצות יסוד שונות.

בייצוגים של חוגים על ידי מודולים מופיעות קטגוריות רבות חשובות:
- קטגוריה פרה-אדיטיבית: יש סכום ישר של כל שני אובייקטים.
- קטגוריה אדיטיבית: סכום ישר, איבר אפס, והמופיזמים הם חבורות אבליות.
- קטגוריה פסאודו-אבלית: אדיטיבית שבה כל מורפיזם אידמפוטנטי מפצל.
- קטגוריה אבלית: פסאודו-אבלית שבה לכל מורפיזם יש גרעין וקו-גרעין.
- קטגוריית גרותנדיק: סוג מיוחד של קטגוריה אבלית; קטגוריית המודולים היא דוגמה, וכל קטגוריית גרותנדיק משוכנת בקטגוריית מודולים.

במתמטיקה יש רעיון בשם קטגוריה. קטגוריה מארגנת דברים מופשטים. "מופשטים" פירושם לא ממש מוחשיים.

בקטגוריה יש אובייקטים וחיצים. חץ (מורפיזם) מחבר אובייקט אחד לשני. Ob(C) מסמן את קבוצת האובייקטים. קטגוריה קטנה זו כש-Ob(C) היא קבוצה.

בקטגוריית הקבוצות, הקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי. קבוצת יחידון (איבר אחד) היא אובייקט סופי.
בקטגוריית החבורות, חבורה טריוויאלית היא אובייקט אפס. יש הרבה חבורות טריוויאליות, אך כולן דומות מאוד (איזומורפיות).

יש סוגים שונים של קטגוריות שמלמדים על מבנים:
- אדיטיבית: יש סכום ישר ואיבר אפס.
- אבלית: סוג מיוחד שבו למורפיזמים יש גרעין וקו-גרעין.
- קטגוריית גרותנדיק: דוגמה חשובה; קטגוריית המודולים היא אחת כזו.