חבורה אבלית נוצרת סופית
חבורה היא קבוצה עם כלל לחיבור. בחבורה אבלית הסדר לא משנה. חבורות מופיעות בהרבה מקומות במתמטיקה. יש חבורות פשוטות ויש מורכבות. איבר מפותל הוא איבר שעובר לאפס אחרי חיבורו לעצמו מספר פעמים. כל האיברים האלה עושים קבוצה מיוחדת. דרגה היא מספר האיברים הקטנים שצריך כדי ליצור את כל החבורה. המשפט אומר: כל...
חבורה אבלית חופשית
חבורה אבלית חופשית היא קבוצה של "סכומים" שאפשר לחבר ביניהם. אבלית אומר שהסדר של החיבור לא משנה. חושבים על סמלים. כל איבר הוא סכום של מספרים שלמים כפול סמלים. רק כמה סמלים מופיעים בכל פעם. דוגמה פשוטה: Z היא חבורה כזו עם סמל אחד. בונים אותה כקבוצה של רשימות של מספרים שלמים שיש בהן רק כמה מספרים לא ...
חבורה אבלית
חבורה אבלית חבורה אבלית היא קבוצה עם פעולה שבה הסדר לא משנה. כלומר, a*b = b*a. זה דומה לחיבור של מספרים. הדוגמה הכי פשוטה היא המספרים השלמים עם חיבור. גם מרחב של וקטורים הוא חבורה אבלית תחת חיבור. אם יש חבורה אבלית, תת־חבורות או מנה שלהן גם אבליות. לעתים מרחיבים חבורה באחרת וזה משנה תכונות. במקום...
תת-חבורת הקומוטטורים
תת־חבורת הקומוטטורים נוצרת מכל הקומוטטורים בחבורה. קומוטטור אומר כמה חשוב הסדר שבו עושים פעולות. אם תמיד אפשר לשנות את הסדר בלי לשנות תוצאה, החבורה נקראת אבלית. תת־חבורת הקומוטטורים קטנה אם והסיבה לכך היא שהחבורה קרובה ל'מסודרת'. קומוטטור של שני איברים g ו-h הוא האיבר שמראה ההבדל בין לעשות g ואז h ...
קטגוריה (מתמטיקה)
במתמטיקה יש רעיון בשם קטגוריה. קטגוריה מארגנת דברים מופשטים. "מופשטים" פירושם לא ממש מוחשיים. בקטגוריה יש אובייקטים וחיצים. חץ (מורפיזם) מחבר אובייקט אחד לשני. Ob(C) מסמן את קבוצת האובייקטים. קטגוריה קטנה זו כש-Ob(C) היא קבוצה. בקטגוריית הקבוצות, הקבוצה הריקה היא אובייקט התחלתי. קבוצת יחידון (איבר...
בעיית וייטהד
בעיית וייטהד היא שאלה במתמטיקה על חבורות. חבורה אבלית היא קבוצה עם חוק חיבור שבו הסדר לא משנה. חבורה חופשית היא חבורה פשוטה מאוד. השאלה שואלת: אם לחבורה אבלית יש תכונה בשם Ext^1(A,\Z)=0, האם היא תמיד חופשית? כאן Ext^1 הוא שם לכלי טכני לבדיקת הרחבות. ג'ון וייטהד הציע את השאלה בשנות ה‑50. תחילה מצאו...
חבורה נילפוטנטית
חבורה היא קבוצה עם חוק שמחבר בין איברים (פעולה). חבורה נילפוטנטית היא חבורה שבה אחרי שמחשבים 'הבדלים' מסוימים פעמים רבות, מקבלים תמיד את האיבר הנייטרלי. ה'הבדל' הזה קוראים לו קומוטטור. קומוטטור של x ו־y הוא [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}. אם כל הקומוטטורים שעם משקל מסוים הם ניטרליים, אומרים שהחבורה נילפוטנ...
מודול (מבנה אלגברי)
מודול הוא קבוצה עם חיבור, שבה אפשר להכפיל איברים ב'מספרים' שנקראים חוג. חבורה אבלית פירושה שקיים חיבור עם איבר אפס. הכפל במספרים הזה נקרא כפל בסקלר. אם יש פעולה R×M→M שמכפילה כל מספר r באיבר m והתוצאה שומרת על חיבור, אז M הוא מודול מעל R. אפשר להגדיר כפל גם מצד ימין, ואז קוראים לו מודול ימני. מרחב...
חבורה פתירה
חבורה פתירה היא חבורה שמסתדרים אותה בשלבים פשוטים. חבורה היא אוסף של איברים עם חוק פעולה. "אבלי" זה כששני איברים מחליפים מקום והכל נשאר אותו הדבר. שמו של הרעיון מגיע מתורת גלואה. הוא עוזר להבין מתי אפשר לפתור משוואות בעזרת שורשים. חבורה פתירה ניתנת לפירוק לסדרה של שלבים. בכל שלב מקבלים חבורה שבה...
פעולה קומוטטיבית
פעולה קומוטטיבית (נקראת גם חילופית) היא חוק שעובד על שני איברים. איברים = הפריטים שאיתם עובדים, למשל מספרים. התנאי פשוט: אם עושים את הפעולה בסדר אחד או בסדר ההפוך, מקבלים את אותה תוצאה. לדוגמה, 2+3 = 3+2. חיסור לא עובד כך: 3-5 אינו שווה ל-5-3. אם בחבורה (קבוצה עם פעולה) הפעולה תמיד מחליפה, קוראים ...
קומפלקס שרשרת
קומפלקס שרשרת הוא רשימה של קבוצות שמחוברות בחצים. קבוצה כאן היא אוסף של איברים שעושים חיבור אחד עם השני. בכל שלב יש קבוצה A_n. יש חצים שמחברים A_{n+1} ל־A_n. החצים נקראים מפות גבול. אם עוברים שני חצים ברצף תמיד מקבלים את "האיבר האפס". האיבר האפס מייצג "כלום". יש שתי קבוצות חשובות: ציקלוסים ושפות. ...
סדרה מדויקת
סדרה מדויקת היא שרשרת של העתקות בין מבנים. בכל שלב, מה שמקבלים מההעתקה הקודמת הוא בדיוק מה שנשלח לאפס בהעתקה הבאה. כאן: התמונה היא מה שההעתקה נותנת כערכים. הגרעין הוא אלו שנשלחים לאפס. יש רצף של מבנים G_i והעתקות f_i. הסדרה מדויקת אם התמונה של אחת שווה לגרעין של הבאה. בסדרה קצרה יש H, G ו-N כך ש...
מבנה אלגברי
מבנה אלגברי הוא אוסף של איברים עם חוק או כמה חוקים. אוסף = קבוצה של דברים. חוק = כלל שחיבור או פעולה עושים. החוקים נקראים אקסיומות. אלה כללים שחייבים להתקיים. למדענים זה שימושי כי אפשר לקחת מספרים, כמו שלמים או ממשיים, ולבדוק רק את התכונות החשובות. לפעמים קוראים למבנה בשם של הקבוצה, כמו לקרוא לחבורה...
עקום אליפטי
עקום אליפטי הוא סוג של עקומה מתמטית. עקומה היא קו או צורה המוגדרים על ידי משוואה. עקומים אליפטיים חשובים בלימוד המתמטיקה. על העקומה אפשר "להוסיף" נקודות. נקודת האינסוף היא האפס של הפעולה הזו. כלל פשוט קובע: אם ישר חותך את העקום בשלוש נקודות אז שלושתן קשורות ביחד. אם הישר משיק, אז נקודה נחשבת פעמי...
חיסור
חיסור זה לקחת פחות ממספר. הסימן הוא - (מינוס). מחוסר הוא המספר שממנו מורידים. מחסר הוא מה שיורד. הפרש הוא מה שנשאר. למשל: 5-2=3. אם יש 5 תפוחים ומורידים 2, נשארים 3. מספר נגדי הוא מספר שמוסיפים אליו ומקבלים 0. אם יש חיבור ומספר נגדי אפשר גם לעשות חיסור על פונקציות, וקטורים ומטריצות. כדי לחשב בעמו...
משפט קרונקר-ובר
משפט קרונקר-ובר אומר: כל הרחבה אבלית סופית של המספרים הרציונליים נמצאת בתוך שדה ציקלוטומי. שדה ציקלוטומי נוצר כשהוסיפו מספר ששווה ל-1 כשהורמים אותו בחזקה n. קרונקר הציע את הרעיון ב-1853, ובר הוכיח זאת ב-1886. דוגמה קלה: הרחבות ריבועיות נוצרות כשמוסיפים שורש ריבועי √d. אפשר להראות שהן תמיד יושבות בת...
חבורה (מבנה אלגברי)
חבורה היא קבוצה עם פעולה שמחברת שני איברים לאחד. הפעולה היא קיבוצית. קיבוצית פירושו שסדר הקיבוצים לא משנה. יש איבר מיוחד שנקרא יחידה. יחידה לא משנה איבר כשמכפילים. לכל איבר יש הופכי. הופכי הוא איבר שמוחק את ההשפעה. אם הפעולה תמיד מחליפה בין איברים, קוראים לחבורה חילופית או קומוטטיבית. תמורות הן ס...