רדיוס התכנסות

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות הוא הרדיוס של הדיסק הגדול ביותר שבמרכזו הטור מתכנס. זהו מספר ממשי לא שלילי, או אינסוף. בתוך דיסק זה הטור מתכנס באופן מוחלט ואחיד על קבוצות קומפקטיות, והוא מייצג פונקציה אנליטית באזור זה. אם לפונקציה יש סינגולריות, כלומר נקודה שבה היא לא מוגדרת, אז רדיוס ההתכנסות הוא המרחק המינימלי מהמרכז לאחת מהסינגולריות האלה.

יש שני מקרים עיקריים למציאת הרדיוס. במקרה התאורטי יודעים את כל המקדמים c_n וניתן לחשב את הרדיוס בדיוק. במקרה המעשי ידועים רק מספר סופי של מקדמים, ואז משתמשים באקסטרפולציה של התנהגות המקדמים כדי להעריך את הרדיוס.

אפשר לקבוע את הרדיוס בעזרת מבחן השורש. מבחן זה מסתמך על הגבול העליון של שורשי המקדמים. מתוך הבדיקה הזו מקבלים את הנוסחה שבה r הוא ההופכי של ה־limsup של שורשי הערכים |c_n|. אם הערך הזה שווה לאפס, פירושו r אינסופי והפונקציה שלמה (כלומר מתקיימת לכל המספרים המרוכבים). כאשר קיים הגבול של היחס בין המקדמים, אפשר גם להשתמש במבחן היחס. במקרה זה r שווה למגבלה של c_n חלקי c_{n+1}.

ביישומים מדעיים בדרך כלל יש רק מקדמים מוגבלים. ככל ש-n גדל, המקדמים נוטים להתקרב להתנהגות קבועה שנקבעת על ידי הסינגולריות הקרובה ביותר. לכן פותחו שתי טכניקות עיקריות שמנצלות את העובדה שמקדמי טור טיילור מתנהגים בערך מעריכית, עם יחס שקושר ל־1/r.

רדיוס ההתכנסות הוא המרחק מהמרכז שבו טור חזקות "עובד". טור חזקות הוא סכום של מספרים שנכנסים לחזקות של (z-a). רדיוס זה יכול להיות אפס, מספר חיובי או אינסוף. נקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת נקראת סינגולריות. המרחק לסינגולריות הקרובה קובע לעתים קרובות את הרדיוס.

אם יודעים את כל המספרים במקדמים, אפשר לחשב את הרדיוס בדיוק. אם יודעים רק כמה מקדמים, מנסים לנבא את המשך המקדמים ולמדוד את קצב הגדילה שלהם. זה נותן הערכה לרדיוס.

יש בדיקות שמחשבות כמה גדלים המקדמים. אחת מהן נקראת מבחן השורש. אחרת נקראת מבחן היחס. מהרואים איך המקדמים גדלים, מבינים מהו הרדיוס. אם המקדמים קטנים מאוד, הרדיוס יכול להיות גדול, ואפילו אינסופי.