נוסחת האינטגרל של קושי

נוסחת האינטגרל של קושי מתארת איך אפשר לחשב את ערך של פונקציה הולומורפית (פונקציה שמקיימת גזירה במישור המרוכב) בתוך עיגול רק על ידי הערכים שלה על שפת העיגול. הנוסחה נכונה גם לנגזרות של הפונקציה, ומשמעותה היא שפונקציה הולומורפית היא אנליטית (ניתנת לפיתוח לטור חזקות) ובעלת אינסוף נגזרות. מזה נובעים משפטים חשובים, כמו משפט ליוביל, ואת ההכללה הגדולה יותר, משפט השאריות.

תהא U קבוצה פתוחה במישור המרוכב שמכילה עיגול D = { z : |z - z0| < R }. אם f : U -> C היא הולומורפית ב‑U, אז לכל a בתוך העיגול מתקיים:

f(a) = (1 / 2πi) ∮_{∂D} f(z) / (z - a) dz.

ניתן להרחיב זאת לנגזרות: לכל n ≥ 0

f^{(n)}(a) = (n! / 2πi) ∮_{∂D} f(z) / (z - a)^{n+1} dz.

המשפט תקף לא רק עבור מעגלים אלא גם עבור כל עקומה פשוטה סגורה, בתנאי שהנקודה a נמצאת בתוך התחום שהעקומה מקיפה. די בכך שהפונקציה תהיה הולומורפית בתוך התחום ושהייתה רציפה על השפה.

נוכיח את המקרה הבסיסי עבור a = z0. מאחר ש‑f הולומורפית היא רציפה, קיימת טבעת קטנה סביב z0 שבה f קרובה ל‑f(z0). לפי משפט האינטגרל אפשר להחליף את שפת העיגול בעקומה המעגלית הקטנה |z - z0| = r. מפצלים את המנה:

(1 / 2πi) ∮ (f(z) - f(z0)) / (z - z0) dz + f(z0) (1 / 2πi) ∮ 1/(z - z0) dz.

החלק השני מחשבים על ידי פרמטריזציה z = z0 + r e^{iθ}. מתקבל ∮ 1/(z - z0) dz = 2πi, ולכן הוא נותן בדיוק f(z0). החלק הראשון קטן כש‑r קטן, כי המונה f(z) - f(z0) הולך לאפס והאינטגרל שלו נעלם. כך מקבלים את השוויון המבוקש. עבור חזקות שונות של (z - z0) מקבלים אפס, וזה שימושי גם להוכחת משפט השאריות.

נוסחת האינטגרל של קושי אומרת כך: אפשר לדעת מה הפונקציה שווה בפנים של עיגול רק מהערכים על השפה של העיגול. פונקציה שכזו נקראת הולומורפית. זה אומר שאפשר למצוא לה נגזרת במובן מיוחדת למספרים מרוכבים.

אם יש עיגול בתוך קבוצה פתוחה והפונקציה הולומורפית בתוכו, אז ערך הפונקציה בכל נקודה בפנים נקבע על ידי האינטגרל על שפת העיגול.

הרעיון: בוחרים עיגול קטן סביב הנקודה. מחלקים את החישוב לשני חלקים. חלק אחד נותן בדיוק את ערך הפונקציה בנקודה. החלק השני קטן מאוד כי הפונקציה קרובה לעצמה שם. בסוף מקבלים שהאינטגרל על השפה שווה לערך בפנים.

הנוסחה הזאת גם אומרת שפונקציות הולומורפיות אפשר לפתח לטורים ולהיות להן אינסוף נגזרות.