שדה סגור אלגברית

במתמטיקה שדה F, קבוצה של מספרים שמאפשרת חיבור, חיסור, כפל וחילוק, נקרא סגור אלגברית אם לכל פולינום לא קבוע עם מקדמים ב‑F יש שורש ב‑F. פולינום הוא ביטוי מתמטי עם חזקות של משתנה. שורש של פולינום הוא מספר שמכניסים במקום המשתנה ואז הפולינום שווה ל‑0.

בגאומטריה אלגברית עובדים לעתים קרובות מעל שדה סגור אלגברית. זה מוריד בעיות אריתמטיות שנגרמות מאי‑קיום שורשים, ומשאיר את המידע הגאומטרי. למשל, בקבוצה של המספרים הרציונליים (שמספריה הם שברים) הקו y=x לא נחתך במעגל x^2+y^2=1, כי נקודות החיתוך כוללות שורש של מספר לא רציונלי. אם עוברים לסגור האלגברי, שתי נקודות החיתוך מופיעות.

לכל שדה F יש שדה הרחבה שהוא סגור אלגברית. מבין הרחבות כאלה יש אחד יחיד עד כדי איזומורפיזם, והוא נקרא הסגור האלגברי של F. הרחבה אלגברית היא שדה שמכיל את F ואת כל השורשים של פולינומים עם מקדמים ב‑F.

נחקרו גם כללים דומים לחוגים עם חילוק שאינם שדות, אך הדוגמאות שם הן ספורות ולא יצרו תאוריה אחידה.

שדה הוא קבוצה של מספרים שעושים חיבור וחילוק. פולינום הוא ביטוי עם x וחזקות. שורש הוא מספר שעושה את הביטוי שווה לאפס.

אם בשדה אין שורשים לפולינומים, לפעמים דברים גאומטריים נעלמים. לדוגמה, בקבוצת השברים הקו y=x לא נחתך במעגל x^2+y^2=1. החיתוך מופיע כשיוסיפו שורשים מתאימים.

לכל שדה אפשר לבנות שדה גדול יותר שבו יש את כל השורשים. השדה הגדול הזה נקרא הסגור האלגברי של אותו שדה.

ניסו גם להגדיר דברים דומים בחוגים אחרים. התוצאות שם פחות סדירות.