שדה שברים

שדה השברים של תחום שלמות R הוא שדה שנוצר מתוך R. זו הרחבה שבאופן רשמי מקבילה לבניית המספרים הרציונליים מתוך המספרים השלמים. המטרה היא להכניס לכל איבר שאינו אפס הפכי (הפוך לכפל), וכך לקבל שדה.

רעיון הבניה הוא פשוט: מוסיפים לכל a≠0 את ההפכי שלו, שנרצה לסמן ב‑1/a. מכפלה בין ההופכיים עובדת כך ש‑1/a כפול 1/b שווה 1/(ab). בעזרת הופכיים אפשר לפתור משוואות מהצורה a x = b על ידי הכפלה ב‑1/a, ובאופן זה את הפתרון נציג כשבר b/a.

כדי לכפול שני שברים שמייצגים פתרונות, מקובל להכפיל את המונים ואת המכנים: (a/b)·(c/d) = (ac)/(bd). לחיבור משתמשים במכנה משותף: (a/b)+(c/d) = (ad+bc)/(bd). בתחומי שלמות יש תכונת הצמצום: אם אפשר לכפול שני איברים ולקבל אותו תוצר, אפשר לצמצם גורם משותף ולפשט את השבר.

ברמה פורמלית בונים את שדה השברים כמחלקות שקילות של זוגות מסדרים (a,b) עם b≠0. היחס אומר ש‑(a,b) שקול ל‑(ac,bc) לכל c שאינו אפס. מחלקת השקילות של (a,b) מסומנת [a,b] והיא מייצגת את השבר a/b.

על מחלקות אלה מגדירים חיבור וכפל כך שהופכים את הקבוצה לחוג קומוטטיבי עם יחידה. אפס השדה הוא [0,1], והיחידה היא [1,1]. הנגדי של [a,b] הוא [-a,b], ואם a≠0 אז ההפכי של [a,b] הוא [b,a], ולכן מקבלים שדה. בתוך שדה השברים יש עותק של R\,-\,האיברים [a,1] מייצגים את a בחוג המקורי.

שדה השברים בונים מתוך חוג מיוחד שנקרא תחום שלמות. תחום שלמות הוא חוג שבו אם מכפילים שני איברים והתוצאה אפס, אז אחד מהם אפס.

מורידים לכל איבר שאינו אפס את ההפכי שלו. ההפכי הוא מספר שמכפיל את האיבר ונותן אחד. כך נוצרים שברים כמו "a חלקי b".

כפל שברים: מכפילים את המונים ואת המכנים. חיבור שברים: מביאים למכנה משותף ואז מחברים את המונים. אפשר גם לצמצם שברים כשיש גורם משותף.

יש דרך פורמלית לבנות את השדה. לוקחים זוגות (a,b) כאשר b לא אפס. זוג כזה מייצג את השבר a חלקי b. אם מכפילים את המונה והמכנה באותו מספר מקבלים את אותו שבר.

האפס הוא הזוג (0,1). היחידה היא (1,1). כל איבר עם מונה שונה מאפס יש לו הפכי.