שורש של מספר

שורש ה-n של a הוא מספר שמכפילים אותו n פעמים בעצמו ומקבלים את a. הסימון הנפוץ הוא √[n]{a}. שורש נקרא גם רדיקל (באנגלית root או radical, משורש radix בלטינית). הוצאת שורש היא הפעולה למצוא שורש זה.

שורש ריבועי הוא המקרה n=2. לכל מספר חיובי יש שני שורשים ממשיים, חיובי ושלילי. מקובל להשתמש בשורש הריבועי החיובי בלבד כסימן √a, ונוסחת הפתרון של x^2 = a היא x = ±√a.

למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי, כי כל מספר ממשי בריבוע נותן תוצאה אי‑שלילית. כדי לתת שורשים גם למספרים כאלה פותחו המספרים המרוכבים, מספרים הכוללים חלק ממשי וחלק דמיוני.

שורש מעוקב הוא שורש מסדר 3, כלומר מספר שמוכפל שלוש פעמים נותן את a. חזקה רציונלית מוגדרת בעזרת השורש: √[n]{a} = a^{1/n}, ולכן a^{m/n} = (√[n]{a})^m. ההגדרה הזאת נכונה למספרים ממשיים אי‑שליליים.

במישור המרוכב לכל מספר יש בדיוק n שורשים מסדר n. בהצגה הקוטבית z = r e^{iθ} השורשים הם r^{1/n} e^{i(θ/n + 2πk/n)} לכל k=0,…,n−1. לדוגמה, שורש הריבועי של −1 הוא ±i. שורשי השלישי של 1 הם 1 ושני מספרים מורכבים שווים למספרים (-1 ± i√3)/2.

שורש הוא מספר שאם מכפילים אותו כמה פעמים, מקבלים מספר אחר. לדוגמה, שורש ריבועי מוכפל פעמיים בעצמו.

אם מכפילים 10 ב-10 מקבלים 100. לכן גם 10 וגם -10 הם שורשים של 100.

כשמדברים על ״ה״שורש הריבועי לרוב בוחרים את השורש החיובי.

אין שורש ריבועי ממשי למספרים שליליים. כדי למצוא להם שורשים משתמשים במספרים מרוכבים. מספר מרוכב הוא מספר שיש לו חלק ממשי וחלק דמיוני שנקרא i.

גם לשורשים מעוקבים (פעמיים שלוש, למשל) ולשורשים מסדרים גבוהים אחרים יכולים להיות מספרים שונים שמתאימים. לדוגמה, שורש ריבועי של -1 הוא i או -i. שורש שלישי של 1 הוא 1 ושניים נוספים שהם מספרים מרוכבים.