תהליך גרם-שמידט

תהליך גרם-שמידט הוא שיטה הממירה בסיס מסודר של מרחב עם מכפלה פנימית (פעולה שמודדת אורך וזווית) לבסיס אורתונורמלי. בסיס אורתונורמלי הוא קבוצה של וקטורים שאורכם 1 וכל שניים מהם מאונכים זה לזה.

האלגברה הליניארית עוסקת במרחבים וקטוריים ובבסיסים שלהם. כאשר קיימת מכפלה פנימית, נוח לעבוד עם בסיסים שבהם הווקטורים מאונכים ומנורמלים.

התהליך מבוסס על שני צעדים עיקריים: נרמול (הפיכת וקטור לכזה שאורכו 1) והטלה (פירוק וקטור לרכיב בכיוון מסוים ולרכיב ניצב לו). תחילה מנרמלים את הווקטור הראשון. עבור כל וקטור הבא מסירים את כל הרכיבים שלו בכיוון הווקטורים שכבר בנינו (הטלות), ונשאר רכיב שאורתוגונלי לכל הקודמים; מנרמלים אותו ומוסיפים לבסיס. כך מקבלים סדרה של וקטורים מנורמלים ומאונכים.

יהיו v1,v2,... הווקטורים ההתחלתיים. עבור כל v_i מסירים את ההטלות שלו על האיברים e_1,...,e_{i-1} שכבר בנינו: v_i' = v_i - sum_k e_k. ה-i־-י הבא הוא e_i = v_i'/||v_i'|| (כאשר || || היא הנורמה). מתקבלות איברות עם =0 אם i≠j ו-||e_i||=1.

אם לא מבצעים את שלב הנרמול מקבלים קבוצה אורתוגונלית בלבד. הנוסחה הכללית משתמשת ב-v_k' ובחלוקה בנורמה בריבוע במקום ב-e_k.

אם במהלך התהליך נוצר וקטור אפס (v_{n+1}'=0), פשוט מדלגים עליו וממשיכים. כך ניתן להתמודד גם עם קבוצות תלויות.

התהליך מוכיח שקיים בסיס אורתונורמלי בכל מרחב מכפלה פנימית ממדי או בן-מנייה. מבחינת מטריצות הוא מוביל לפירוקים חשובים: ניתן לכתוב מטריצה סימטרית חיובית כ-B B^T עם B משולשית. זאת מובילה לפירוק QR של מטריצות וליישומים נומריים.

בתחום מרחבי פונקציות אינסופיים התהליך חשוב במיוחד. הוא מסייע למצוא בסיסים אורתוגונליים שמקלים על חישובים ומושגים במרחבים אלו.

כאשר מפעילים את התהליך על סדרת המונומים {1,x,x^2,...} במכפלה הפנימית
=∫_{-1}^1 f(x)g(x) dx, מתקבלים פולינומי לז'נדר המוכרים. לאחר נרמול מקבלים למשל:
p_0 = 1/√2, p_1 = √(3/2) x,
p_2 = (√5/(2√2))(3x^2-1), p_3 = (√7/(2√2))(5x^3-3x).
כפלות סקלריות של פולינומים אלה שומרות על האורתוגונליות, ולכן מקבלים גם את הצורה המקובלת L_0=1, L_1=x, L_2=(1/2)(3x^2-1), L_3=(1/2)(5x^3-3x),...

התהליך נקרא על שם גרם ושמידט. עם זאת יש אזכורים מוקדמים בעבודות של לפלס ואחרים.

מילות מפתח: גרם-שמידט אורתונורמלי נרמול הטלה בסיס פירוק QR פולינומי לז'נדר מכפלה פנימית מרחב הילברט

תהליך גרם-שמידט משדרג סדרה של "חצים" (וקטורים) כך שיהיו מאונכים ומנורמלים. מנורמל = אורך 1. מאונכים = בזווית של 90 מעלות.

בסיס הוא קבוצה של חצים שמרכיבים כל וקטור במרחב. אם יש דרך למדוד אורך וזווית (מכפלה פנימית), נרצה בסיס שבו החצים פשוטים יותר.

הצעד הראשון מנרמל את הווקטור הראשון. עבור כל וקטור אחר מסירים את החלק שלו בכיוון של הווקטורים שכבר יש. נשאר חלק שמאונך לכל הקודמים. מנרמלים אותו ומוסיפים.

מבצעים: וקטור חדש = וקטור מקורי - סכום הרכיבים שלו על הווקטורים הקודמים. אם התוצאה לא אפס, מנרמלים ומוסיפים.

אם התוצאה היא 0, מדלגים על הווקטור הזה וממשיכים.

משתמשים בזה בחישובים במתמטיקה ובפיזיקה. זה גם עוזר לפרק מטריצות ולבנות בסיסים לפונקציות.

אם מפעילים את התהליך על פולינומים 1, x, x^2,... עם מכפלה פנימית
של אינטגרל על [-1,1], מקבלים פולינומים מיוחדים שנקראים לז'נדר. כמה מהם:
L_0 = 1
L_1 = x
L_2 = (1/2)(3x^2-1)
L_3 = (1/2)(5x^3-3x)

השם מגיע ממשני גרם ושמידט. היו גם אזכורים קודמים אצל מתמטיקאים אחרים.