אורתוגונליות
אורתוגונליות היא רעיון כללי ל'ניצבות'. שני וקטורים אורתוגונליים אם משהו שנקרא מכפלה פנימית שווה לאפס. מכפלה פנימית היא דרך לחשב יחס בין שני וקטורים, כמו למדוד זווית. וקטור הוא אורתוגונלי למרחב אם הוא אורתוגונלי לכל וקטור במרחב הזה. מספיק לבדוק מול הווקטורים הבסיסיים. המשלים האורתוגונלי של קבוצה ה...
מטריצה אורתוגונלית
מטריצה אורתוגונלית היא טבלת מספרים ריבועית עם מספרים ממשיים. היא מקיימת A^t A = I. כאן A^t זו המטריצה המוחלפת, ו-I היא מטריצת היחידה. לדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית יש ערך +1 או -1. כפל במטריצה כזו משאיר את האורך של וקטורים כפי שהוא. הוא גם שומר על הזוויות בין וקטורים. עמודות המטריצה הן וקטורים ...
פולינומי הרמיט
פולינומי הרמיט הם סדרה של ביטויים במשתנה x. כל ביטוי כזה נקרא פולינום. הם חשובים בפיזיקה ובמתמטיקה. מה זה פולינום? פולינום הוא חיבור של חזקות של x עם מספרים כמקשרים. למשל H_0=1 ו-H_1=2x. איך בונים אותם? את H_n מכינים על ידי פעולה של מדידה מיוחדת (נגזרת) על פונקציה עם e^{-x^2}. נגזרת זו מודדת שינוי...
מטריצה אוניטרית
מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית של מספרים מרוכבים. מטריצה ריבועית פירושה אותו מספר שורות ועמודות. מספרים מרוכבים הם מספרים עם חלק דמיוני. חלק דמיוני הוא החלק שלא ממש "כמו מספרים רגילים". יש לה צמוד הרמיטי. צמוד הרמיטי הוא לקחת את המטריצה, להחליף שורות בעמודות, ולשנות את החלקים הדמיוניים. כשהכופלי...
תהליך גרם-שמידט
תהליך גרם-שמידט משדרג סדרה של "חצים" (וקטורים) כך שיהיו מאונכים ומנורמלים. מנורמל = אורך 1. מאונכים = בזווית של 90 מעלות. בסיס הוא קבוצה של חצים שמרכיבים כל וקטור במרחב. אם יש דרך למדוד אורך וזווית (מכפלה פנימית), נרצה בסיס שבו החצים פשוטים יותר. הצעד הראשון מנרמל את הווקטור הראשון. עבור כל וקטור ...
ריבוע לטיני
ריבוע לטיני הוא טבלה מרובעת. בכל שורה ובכל עמודה יש את אותם סימנים ללא חזרות. דוגמה קטנה: שורות 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2. אם מעבירים שורות או מחליפים בין המספרים, מקבלים ריבוע חדש. ריבועים שניתן להגיע אחד מהשני כך נקראים שקולים. אפשר להחליף את התפקידים של שורה, עמודה וסמל. כך מקבלים ריבוע אחר. שישה ריב...
מערכת אורתונורמלית שלמה
מערכת אורתונורמלית היא קבוצה של וקטורים. וקטור הוא חץ שמייצג כיוון וגודל. הווקטורים במערכת ניצבים זה לזה. ניצבים פירושו שהזווית ביניהם היא 90 מעלות. כל וקטור במערכת גם באורך 1. האורך הזה קוראים לו נורמה. מערכת שלמה היא מערכת שאי אפשר להוסיף לה עוד וקטור חדש שניצב לכל הווקטורים שלה. כשהולכים לבדוק כ...
אופרטור אוניטרי
אופרטור אוניטרי הוא פעולה על וקטורים ששומרת על אורכים וזוויות. וקטור הוא חץ במרחב. האופרטור הזה עובד על מרחב שבו אפשר למדוד זוויות ואורכים. זו המכפלה הפנימית. אפשר להגדיר אותו גם כך: אם נמדוד את המכפלה הפנימית בין שני וקטורים, היא לא משתנה אחרי הפעולה. אופרטור אוניטרי לא משנה את האורך של וקטורים. ...
מטריצת סיבוב
מטריצת סיבוב היא כלי מתמטי שמסובב חצים (וקטורים) בלי לשנות את האורך שלהם. כבר נהוג לקרוא לה C או R. אם יש חץ במערכת צירים a ומעבירים אותו למערכת b כותבים v^b = C_a^b v^a. כך מקבלים את אותו חץ לפי צירים חדשים. מטריצת סיבוב שומרת על אורך החץ ועל הזוויות בין החצים. ההיפוך שלה פשוט להיפך (הטרנספוזה). ...
שורש יחידה
שורש יחידה הוא מספר בשדה (קבוצה של מספרים עם חיבור וכפל) שהחזקה שלו נותנת 1. שורש מסדר n מקיים ρ^n = 1. אם לא קיים מסדר קטן יותר קוראים לו פרימיטיבי. בכל שדה יש עד n שורשים כאלו. במספרים המרוכבים יש בדיוק n שורשי יחידה מסדר n. הם על מעגל ישר שצורתו נקראת מעגל היחידה. הנקודות יוצרות מצולע משוכלל עם...
מרחב הילברט
מרחב הילברט דומה לחדר שבו יש וקטורים. מכפלה פנימית היא כלי שמחשב אורך וזווית בין וקטורים. המרחב צריך להיות "שלם". שלם פירושו שכל סדרה שמתקרבת למשהו אכן מגיעה לחלק במרחב. מרחבי הילברט חשובים כי הם מאפשרים לעשות גאומטריה גם בממדים רבים מאוד. הם משמשים בנושאים כמו פורייה ומכניקת הקוונטים. זהו מרחב ...
מטריצה סימטרית
מטריצה סימטרית היא מטריצה ריבועית. "ריבועית" פירושו שיש לה אותן שורות ועמודות. אם הופכים שורות לעמודות מקבלים את אותה מטריצה. זאת אומרת שאיבר שנמצא מעל האלכסון הוא כמו האיבר המשקף שלו מתחת לאלכסון. זה דומה לתמונה במראה. העובדה החשובה היא שהמספרים המיוחדים של המטריצה, שנקראים ערכים עצמיים (מספרים שמ...
שחלוף (מתמטיקה)
שחלוף הוא הזזה של שורות ועמודות במטריצה. מטריצה היא טבלה של מספרים. כשמשחלפים, שורה נהיית עמודה והעמודה נהיית שורה. מטריצה n×m הופכת ל-m×n. את השחלוף מסמנים בדרך כלל A^T. A^T היא המטריצה שבה האיבר במקום (i,j) הוא האיבר שהיה במקום (j,i) במקור. אם משחלים שתי פעמים, חוזרים למקור. זה אומר שהפעולה הפ...
מכפלה סקלרית
מכפלה סקלרית היא דרך להשיג מספר משני חיצים (וקטורים). וקטור הוא חץ עם כיוון ואורך. התוצאה היא מספר אחד. יש שתי דרכים להביט על זה: דרך הצורה של החצים ודרך הרשימות של המספרים שלהם. המכפלה תלויה באורכים של שני החיצים ובזווית ביניהם. אם החיצים באותו כיוון התוצאה גדולה וחיובית. אם הם ניצבים זו לזו הת...
מרחב מכפלה פנימית
זוהי דרך לחבר שני וקטורים. וקטור הוא סדרה של מספרים, כמו (x1,x2,x3). מכפלה זו לוקחת שני וקטורים ומחזירה מספר. לדוגמה, לוקטורים בשלוש מידות: \lang (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3. זה נקרא "מכפלה סקלרית". היא עוזרת למדוד אורך וזווית. אורך של וקטור מחושב כך: \|x...
איזומטריה
איזומטריה היא דרך לשנות מיקום של נקודות בלי לשנות את המרחקים ביניהן. מרחב מטרי זה קבוצה של נקודות עם כלל למדידת מרחקים. איזומטריה ממפה כל זוג נקודות כך שהמרחק ביניהן נשאר אותו דבר. אז לא אפשר לשבור מרחקים. אם מפתחים את כל האיזומטריות למרחב לעצמו, מקבלים קבוצה שנסגרת תחת הרכבה של העברות. במישור וב...
עץ kd
עץ kd הוא מבנה נתונים שמאחסן נקודות במרחב. נקודה היא מקום עם מספרים שמגלים איפה היא. בדוגמה של שני ממדים, יש לכל נקודה x ו-y. בשורש העץ חוצים את המישור בקו אנכי לפי x. נקודות מימין הולכות לצד ימין, ונקודות משמאל הולכות לצד שמאל. בשכבה הבאה חוצים בקו אופקי לפי y. החיתוכים מתחלפים בכל רמה. בממדים אח...