תורת ההפרעות

תורת ההפרעות היא שיטה מתמטית למציאת פתרון מקורב לבעיות שקשה לפתור בדיוק. הפרעה היא סטייה קטנה מהפתרון הידוע. בשיטה מניחים שיש פתרון ידוע ואז בוחנים שינויים קטנים סביבו. באופן מסוים זה דומה לפיתוח לטור טיילור, שבו מפתחים פונקציה סביב נקודה ידועה.

דוגמה פשוטה: בשלולית מים פני המים יכולים להיות שטוחים ויציבים. זהו פתרון מדויק של משוואות הזרימה. אם מופיעים גלים קטנים, אפשר לראותם כהפרעות, סטיות קטנות מהמצב השטוח. במקרה כזה קל יחסית לחשב כיצד יתקדמו הגלים ולקבל קירוב טוב לפתרון המלא.

נבחן את המשוואה הבאה: ∂f/∂x + f - ε f^2 = 0, עם תנאי התחלתי f(0)=2. כאן ε הוא פרמטר קטן (כמו מספר ריינולדס).

כאשר ε=0 המשוואה הופכת לליניארית פשוטה, והפתרון הוא f=2e^{-x}. כדי לטפל במקרה שבו ε קטן אך לא אפס מפתחים את f כסכום של סדרים בחזקות של ε: f=f0+ε f1+ε^2 f2. מחלוקת הביטוי לפי סדרי ε נותנת סדרה של משוואות פשוטות יותר. הסדר המוביל (O(1)) הוא ∂f0/∂x + f0 = 0 עם f0(0)=2, ולכן f0=2e^{-x}. המשוואה מסדר ε נותנת ומשם מקבלים f1=4e^{-x}-4e^{-2x}, וכן הלאה. בכל שלב מתקבל קירוב מדויק יותר לפתרון המלא.

לעיתים משתמשים בתורת ההפרעות גם בבעיות חום. עבור משוואת החום החד־ממדית ∂^2T/∂x^2 = c ∂T/∂t קיים פתרון פשוט שבו הטמפרטורה קבועה, למשל T=1. אם מוסיפים הפרעה קטנה בצורת גל בתחום, תנועה קטנה של הטמפרטורה, אפשר לכתוב את הפתרון כבסיס T0=1 ועוד הפרעה קטנה T'. אם ההפרעה היא צורת סינוס לפי x ופוחתת בזמן כמו e^{-σ t}, הצבתה במשוואת החום מאפשרת למצוא את קצב הדעיכה σ. המחקר מראה ש־σ תלוי בפרמטרים של הבעיה (מספר הגלים n, אורך l וקבוע הדיפוזיה c), ולכן שיטת ההפרעות נותנת מידע ברור על יציבות וההתנהגות בזמן של השיבושים הקטנים.

תורת ההפרעות זו דרך למצוא פתרונות מקורבים לבעיות קשות. הפרעה זה שינוי קטן במצב שכבר יודעים.

חשבו על שלולית מים. כשהמים שקטים הפנים חלקים. אם נגיע גלים קטנים הם הפרעה. כשגלים קטנים, אפשר לחזות בקלות איך הם יתנהגו.

ברעיון המתמטי מתחילים בפתרון פשוט שלא כולל את ה"הפרעה". אחר כך מוסיפים שינויים קטנים, אחד אחרי השני. כל שינוי קטן משפר את התשובה.

מסתכלים על משוואה שקשה לפתור. אם הפרמטר הקטן שווה לאפס, המשוואה פשוטה ויש פתרון ברור. אז מוסיפים בהדרגה תיקונים קטנים כדי להתקרב לפתרון האמיתי.

במשוואת חום פשוטה הטמפרטורה יכולה להיות קבועה. אם מוסיפים הפרעה קטנה בצורת גל, ההפרעה תדעך עם הזמן. גלים דקים ודקים יותר נעלמים מהר יותר. כך אפשר למצוא כמה מהר ההפרעה נעלמת לפי תכונות המערכת.