תורת הקבוצות האקסיומטית

תורת הקבוצות האקסיומטית היא ניסוח פורמלי של תורת הקבוצות על בסיס אקסיומות. אקסיומה, כלל יסוד בתיאוריה שאינו מוכח בתוך אותה תיאוריה. קבוצה, אוסף של איברים. תורה זו מחליפה את הגישה הנאיבית, שנחשבה בעייתית בגלל פרדוקסים.


בתחילת המאה ה-20 גילה ברטראנד ראסל פרדוקסים שהראו שסוגים מסוימים של הגדרות קבוצה מובילים לסתירות. גילויים אלה הובילו לפיתוח מערכת אקסיומטית ריגורוזית. מערכת זו פורחה בעיקר על ידי ארנסט צרמלו ואברהם פרנקל, כדי למנוע סתירות ולבסס את היסודות של המתמטיקה.


יש כמה גרסאות של המערכת האקסיומטית. המפורסמות ביותר הן ZF (מערכת צרמלו, פרנקל) ו-ZFC (הוספת אקסיומת הבחירה). במערכות אלה כל אובייקט הוא קבוצה, ואין קבוצה שמכילה את כל הקבוצות.

ב-ZFC שבע אקסיומות עיקריות, בקיצור:
1. אקסיומת ההיקפיות: שתי קבוצות שוות אם יש להן את אותם איברים.
2. אקסיומת האיחוד: לכל קבוצה קיימת קבוצת האיחוד שלה, שמכילה את כל האיברים של קבוצותיה.
3. אקסיומת האינסוף: קיימת קבוצה אינסופית.
4. אקסיומת ההחלפה: אם פונקציה מגדירה תמונה לכל איבר של קבוצה, אז תמונות אלה יוצרות קבוצה.
5. אקסיומת קבוצת החזקה: לכל קבוצה יש קבוצה של כל תת-הקבוצות שלה.
6. אקסיומת היסוד: אין מעגלים של חברות; כל קבוצה לא ריקה מכילה איבר זרעי שאינו חופף לה.
7. אקסיומת הבחירה: מתוך משפחה של קבוצות לא ריקות אפשר לבחור איבר אחד מכל קבוצה.

קיימות גם מערכות אחרות, כמו NBG ו-NF, שמבדילות עצמים שאינם קבוצות או שמתירות קבוצת כל הקבוצות. ברוב המתמטיקה המודרנית ZFC היא המערכת המקובלת לבניית שאר התחומים. מספרים ואובייקטים מוכרים אחרים מוגדרים בה כקבוצות.

תורת הקבוצות האקסיומטית היא דרך מסודרת לדבר על קבוצות. קבוצה, אוסף של דברים.


לפני כמאה שנים ראסל גילה בעיות בתיאורים פשוטים של קבוצות. הבעיות אלו גרמו למתמטיקאים ליצור חוקים ברורים. צרמלו ופרנקל עזרו לבנות את המערכת החדשה הזו.


המתמטיקאים עובדים בעיקר עם ZFC. זו מערכת של חוקים בסיסיים על קבוצות. כמה חוקים פשוטים:
- היקפיות: שתי קבוצות שוות אם יש להן את אותם איברים.
- איחוד: אפשר לאחד קבוצות ולקבל קבוצה חדשה עם כל האיברים.
- אינסוף: קיימת קבוצה שממשיכה בלי סוף.
- החלפה: תמונות של איברים לפי חוק יוצרות קבוצה.
- קבוצת החזקה: לכל קבוצה יש קבוצה של כל תת-הקבוצות שלה.
- יסוד: אין מעגלים של חברות בין קבוצות.
- בחירה: אפשר לבחור איבר אחד מכל קבוצה במשפחה של קבוצות.

ZFC משמשת כמעט בכל המתמטיקה. הרעיון העיקרי הוא לכתוב חוקים ברורים כדי להימנע מסתירות.