תורת הקבוצות האקסיומטית
תורת הקבוצות האקסיומטית היא דרך מסודרת לדבר על קבוצות. קבוצה, אוסף של דברים. לפני כמאה שנים ראסל גילה בעיות בתיאורים פשוטים של קבוצות. הבעיות אלו גרמו למתמטיקאים ליצור חוקים ברורים. צרמלו ופרנקל עזרו לבנות את המערכת החדשה הזו. המתמטיקאים עובדים בעיקר עם ZFC. זו מערכת של חוקים בסיסיים על קבוצות....
משפטי האי-שלמות של גדל
קורט גדל היה לוגיקן שהוכיח בשנות ה-30 שני משפטים חשובים. הם מראים שלמערכות חוקים במתמטיקה יש גבולות. מערכת אקסיומות היא קבוצה של כללים בסיסיים. אם המערכת ברורה ומכאנית, אפשר לבדוק חוקים בה בצורה מדויקת. המשפט הראשון אומר שקיימת תמיד טענה שאי אפשר להוכיח או להפריך בתוך המערכת. הגדל בנה טענה שאומ...
בעיית וייטהד
בעיית וייטהד היא שאלה במתמטיקה על חבורות. חבורה אבלית היא קבוצה עם חוק חיבור שבו הסדר לא משנה. חבורה חופשית היא חבורה פשוטה מאוד. השאלה שואלת: אם לחבורה אבלית יש תכונה בשם Ext^1(A,\Z)=0, האם היא תמיד חופשית? כאן Ext^1 הוא שם לכלי טכני לבדיקת הרחבות. ג'ון וייטהד הציע את השאלה בשנות ה‑50. תחילה מצאו...
תורה (לוגיקה מתמטית)
תורה בבבלוגיקה היא רשימה של כללים ושפה מתמטית. אקסיומה היא משפט שמקבלים כנכון בתוך הרשימה. משתנה חופשי הוא משתנה שלא קשור בכמותים כמו "לכל" או "קיים". לשפה עצמה אין פירוש עד שבוחרים מודל, כלומר מבנה שמתאים לסימנים. דמיינו מסעדה: P אומר "זו צלחת" ו‑A(x,y) אומר ש‑x ו‑y יושבים באותו שולחן. אז חוק יכו...
אקסיומת הקבוצה האינסופית
אקסיומת האינסוף אומרת שיש קבוצה אינסופית. זה אומר שקיימת קבוצה A עם הקבוצה הריקה בתוכה. הקבוצה הריקה נקראת "אפס". לכל איבר בקבוצה יש גם "עוקב". העוקב של קבוצה הוא הקבוצה שמכילה את כל האיברים שלה וגם את הקבוצה עצמה. בדרך הזו בונים את המספרים הטבעיים. הם מתחילים מאפס וכל פעם מוסיפים עוקב. אפשר גם לה...
השערת הרצף
קנטור אמר שיש שלוש אפשרויות לגודל קבוצה של מספרים ממשיים. או שהקבוצה סופית, או שאפשר למנות אותה כמו 1,2,3,... (זה נקרא בת-מנייה), או שהיא בגודל של כל הממשיים יחד. קנטור הראה שיש יותר ממשיים מאשר טבעיים. הוא חשב שאי אפשר למצוא גודל באמצע. הוא לא הוכיח זאת. הגודל של הממשיים שווה לגודל של כל הרשימו...