תורת התנודות

תנודה היא שינוי במצב של מערכת לאורך זמן, בדרך כלל שינוי מחזורי. המונחים ויברציה, רעידה ורטט מתארים תנודה מכנית ולעיתים מוחלפים במילה תנודה. תנודות מופיעות גם במערכות ביולוגיות ובחברה.

הגורמים העיקריים לניתוח תנודות הם אלסטיות (היכולת של מערכת לחזור לצורתה), כוח מאלץ (כוח שמתחיל וממשיך את התנודה) וריסון (damping - משיכת אנרגיה שגורמת לדהייה). דוגמאות נפוצות הן גלי הים ומיתרי גיטרה. רוב התנודות האלה מרוסנות ודועכות עם הזמן, כשהאנרגיה שלהן נהפכת בחלקה לחום.

משוואת הגלים מתארת כיצד תנודה מתפשטת במרחב. תופעה חשובה אחרת היא תהודה: כשכוח פועל בתדירות שווה לתדירות הטבעית של המערכת, התנועה יכולה להתחזק מאוד. בלי ריסון מספיק (כמו חיכוך), המערכת עלולה להגיב בעוצמה גדלה.



במערכת בעלת דרגת חופש אחת המשוואה הבסיסית היא M x'' + C x' + K x = 0. שלושה פרמטרים מרכזיים שמאפיינים את ההתנהגות הם:
1) תדירות טבעית ω_n = sqrt(K/M). זוהי התדירות שבה המערכת תנודד ללא כוח חיצוני.
2) ריסון קריטי C_cr = 2 sqrt(KM). זהו ערך הריסון שמונע תנודות מהר ככל האפשר בלי התנודדות מעבר.
3) יחס הריסון ζ = C / C_cr. לפי ζ יש שלוש התנהגויות שונות:
- ζ ≥ 1: ריסון קריטי או על-קריטי; התנועה דועכת ללא תנודות.
- ζ = 1: ריסון קריטי; דעיכה מהירה ללא תנודות נותרות.
- 0 < ζ < 1: ריסון תת-קריטי; התנועה עדיין תנודתית אך גוברת דהייה עם הזמן.

תנודה היא שינוי שחוזר על עצמו בזמן. למשל גל בים או מיתר של גיטרה.

יש שלושה דברים חשובים שגורמים לתנודה: אלסטיות - היכולת לחזור למצב הקודם; כוח שמעיר את התנועה; וריסון - דבר שמאט את התנועה, כמו חיכוך.

רוב התנודות נחלשות עם הזמן. האנרגיה שלהן הופכת בחלקה לחום. יש גם מצב שנקרא תהודה. תהודה היא כאשר דוחפים בקצב שמתאים למערכת. אז התנועה יכולה להתחזק מאוד, אם אין ריסון שיעצור אותה.



למערכת פשוטה יש שלוש תכונות חשובות: תדירות טבעית - כמה מהר היא אוהבת לרעוד, ריסון קריטי - כמה ריסון צריך כדי למנוע רעד, ויחס ריסון - השוואה בין הריסון הקיים לזה הקריטי. אם יחס הריסון קטן מדי, תהיה רעדה שמטהה לאט. אם הוא גדול מספיק, הרעדה תיעלם מהר ובשקט.