תלות ליניארית

תלות ליניארית היא מצב שבו וקטור אחד יכול להיכתב כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים. צירוף ליניארי הוא חיבור של וקטורים אחרי שמכפילים כל אחד במספרים שנקראים סקלרים.
לדוגמה: הווקטורים (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) במרחב של שלושה מספרים בלתי תלויים ליניארית. לעומת זאת, הווקטורים (2,-1,1),(1,0,1),(3,-1,2) תלויים ליניארית, כי הווקטור השלישי שווה לסכום של השניים הראשונים.
יהיו v1,...,vn וקטורים במרחב וקטורי V מעל שדה F. הם תלויים ליניארית אם קיימים סקלרים a1,...,an (לא כולם אפס) כך ש-a1·v1+...+an·vn=0. אם המקדמים היחידים שמספקים סכום אפס הם כולם אפס, הווקטורים בלתי תלויים ליניארית.
כאן "סקלר" פירושו מספר מהשדה F, ו"הווקטור אפס" פירושו הווקטור שכל רכיביו אפס.
כל קבוצת המקדמים (a1,...,an) שמייצרת תלות ליניארית בין הווקטורים מהווה קבוצה סגורה לחיבור ולכפילה בסקלר. יחד עם וקטור האפס זו קבוצה שהיא למעשה תת-מרחב של F^n. כלומר, כל התלויות הליניאריות נבנות באופן שיטתי כמו וקטורים במרחב המקדמים.
הווקטורים (1,1) ו-(2,-3) ב-
R^2 בלתי תלויים ליניארית. אם נניח שיש a,b כך ש-a(1,1)+b(2,-3)=0 ונפתור את המערכת, מתקבל a=b=0. לכן אין צירוף לא טריוויאלי שמייצר את הווקטור האפס.
ב-V=R^n נבחן את הווקטורים הסטנדרטיים e1,...,en, שכוללים 1 במקום אחד ו-0 בשאר הרכיבים. סכום של ai·ei שווה ל-(a1,a2,...,an), ולכן כדי לקבל את וקטור האפס חייבים כל ai=0. לכן הם בלתי תלויים ליניארית.

תלות ליניארית אומרת שווקטור אחד אפשר לקבל מחיבור של וקטורים אחרים. חיבור כזה נעשה אחרי שמכפילים כל וקטור במספרים פשוטים.
דוגמה קלה: הווקטורים עם הרכיבים 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 לא תלויים. הם לא יכולים ליצור אחד את השני.
אבל הווקטורים 2,-1,1 ; 1,0,1 ; 3,-1,2 כן תלויים. כי האחרון הוא סכום של השניים הראשונים.
קבוצה של וקטורים תלויה ליניארית אם אפשר למצוא מספרים לא כולם אפס כך שסך המכפלות שלהם בווקטורים נותן את הווקטור אפס. אם רק כל המספרים אפס עובדים, אז הם בלתי תלויים.
(1,1) ו-(2,-3) ב-R^2 בלתי תלויים. אם ננסה לחבר אותם עם מספרים וליצור את האפס, נגלה שרק המספרים 0 ו-0 מתאימים.
הווקטורים היסודיים ב-R^n הם אלה שאחד מהם מכיל 1 רק במקום אחד ושאר המקומות הם 0. רק אם כל המספרים הם 0 נקבל את האפס, לכן הם בלתי תלויים.