אופרטור

באופן כללי אופרטור (Operator) הוא פעולה אלגברית שמפעילים על מספר קבוע או משתנה של איברים במבנה אלגברי. התוצאה היא איבר באותו מבנה או לעיתים במבנה אחר. האיברים שעליהם פועל האופרטור נקראים אופרנדים. במצבים רבים משתמשים במונח גם כשם נרדף לפעולה מתמטית, ובמיוחד כשמדובר על פעולות על וקטורים במרחב וקטורי.

נהוג להבחין לפי מספר האופרנדים. יש שלוש שיטות מקובלות לכתיבת אופרטורים: פרפיקס עם סוגריים Q(x1,x2,…), סופיקס כמו n! לעתים ללא סוגריים, ואופרטור בין-אופרטנדי כמו 3+4 להראות 2 אופרנדים. לעתים משלבים שיטות שונות, למשל \log(x)+n!. יש גם כתיב פולני (prefix) שבו כותבים את האופרטור לפני האופרנדים, למשל +2,3 במקום 2+3. בביטויים עם כמה אופרטורים מפענחים לפי כללי קדימות אופרטורים.

באנליזה מתמטית ובאלגברה ליניארית, אופרטור הוא העתקה ליניארית בין מרחבים וקטוריים. "ליניארית" פירושה שהפעולה שומרת על סכום וכפל בסקלר. לעיתים אופרטור כזה מפעיל על פונקציה (כלל שמקבל ערך ומחזיר ערך) ומחזיר פונקציה אחרת.

אופרטור דיפרנציאלי מערב נגזרות. דוגמה: A = d/dx + g(x). פעולתו על פונקציה f היא Af(x) = f'(x) + g(x)f(x), כאשר f' היא הנגזרת של f. אופרטורים כאלה נחקרים במיוחד במרחבי בנך ומרחבי הילברט (מרחבי פונקציות עם מבנים מתמטיים מיוחדים). על מרחבים אלה ניתן להגדיר תכונות של אופרטורים כמו חסימות, רציפות, סגירות ושלמות. במרחב הילברט קיימים אופרטורים שמתנהגים בדומה למטריצות, למשל אופרטורים הפיכים, סימטריים והרמיטיים. במכניקת הקוונטים, גדלים מדידים מיוצגים על ידי אופרטורים הרמיטיים.

אופרטור הוא פעולה במתמטיקה. הוא מקבל דברים ומחזיר דבר חדש. האפרנדים (האופרנדים) הם הדברים שעליהם פועלים.

אופרטורים נכתבים בכמה דרכים. דוגמה: \cos x כותבים את השם לפני x. n! כותבים אחרי המספר. 3+4 כותבים בין שני מספרים. יש גם כתיב שבו שמים את הסימן לפני המספרים, למשל +2,3 במקום 2+3.

אופרטור ליניארי הוא אופרטור שעובד טוב עם חיבור וכפל במספר. לעיתים הוא לוקח פונקציה (כלל שנותן מספר לפי קלט) ומחזיר פונקציה חדשה.

אופרטור דיפרנציאלי משתמש בנגזרת. נגזרת היא קצב השינוי של פונקציה. דוגמה: A = d/dx + g(x). אם f היא פונקציה, אז Af = f' + g·f. במקומות מתקדמים בלימוד, כמו מרחבי פונקציות גדולים, בוחנים תכונות של אופרטורים. במכניקת הקוונטים משתמשים באופרטורים מיוחדים שנקראים הרמיטיים.