תנאי הלדר

תנאי הלדר הוא תנאי על פונקציות רציפות שמודד עד כמה הן "חלקות". זה מרחיב את תנאי ליפשיץ, ונקרא על שם המתמטיקאי אוטו הלדר.

פונקציה f: U → ℝ על תחום פתוח U ⊂ ℝ מקיימת את תנאי הלדר אם קיימים קבועים K > 0 ו-α ≥ 0.
לכל x,y ב‑U מתקיים |f(x)-f(y)| ≤ K·|x-y|^α.
המשמעות: ההפרש בערכי הפונקציה נשלט על ידי המרחק בין הנקודות בחזקת α.
בגרסה כללית עובדים עם זוג מרחבים מטריים. מרחב מטרי הוא מרחב שבו מוגדר מרחק בין נקודות.

כל הפונקציות שמקיימות את תנאי הלדר עבור מדד α על קבוצה פתוחה Ω במרחב האוקלידי יוצרות מרחב וקטורי. את הקבוצה הזאת מסמנים C^{0,α}(Ω).
אם נבחנות נגזרות פי-נבל אז מקבלים מרחבים מסומנים C^{n,α}(Ω), שבהם הנגזרות מסוימות מקיימות תנאי ליפשיץ.

על מרחבים אלה מוגדרת סמי-נורמה טבעית, שמודדת את החוזק של תנאי הלדר.
למשל: ||f||_{C^{0,α}} = sup_{x,y∈Ω} |f(x)-f(y)| / |x-y|^α, המייצגת את הערך המקסימלי של היחס בין שינוי הערכים למרחק בחזקת α.

תנאי הלדר בודק שפונקציה לא משתנה מהר מדי. זה קשור לתנאי ליפשיץ.

קיימים שני מספרים: K ו‑α. K גדול מאפס. α הוא מספר לא שלילי.
התנאי אומר: כששתי נקודות קרובות, השינוי בערך הפונקציה קטן מ‑K כפול המרחק בחזקת α.
זה עובד גם במקומות שבהם יודעים למדוד מרחק בין נקודות.

כל הפונקציות שעומדות בתנאי הזה מעל קבוצה פתוחה Ω מסודרות בקבוצה מיוחדת.
שמה של הקבוצה הוא C^{0,α}(Ω). היא מאפשרת חיבור וכפלה בסקלר, כמו מרחב וקטורי.

מגדירים סמי-נורמה. סמי-נורמה היא מדד שאומר כמה הפונקציה "נעה" ביחס למרחק.
היא בודקת את המקסימום של היחס בין השינוי בערך למרחק בחזקת α.