קבוצה חסומה
קבוצה חסומה היא קבוצה שכל הנקודות שלה יושבות בתוך כדור. כדור זה הוא כל הנקודות שהמרחק מהמרכז קטן ממספר קבוע. מרחק אומר כמה רחוק שתי נקודות אחת מן השנייה. בדוגמה של קו המספרים, קבוצה חסומה יכולה להיות בתוך קטע סופי. זאת אומרת, יש מספר אחד גדול מכולם ומספר אחד קטן מכולם. אם המרחק בין כל שתי נקודות...
פונקציה חסומה
פונקציה היא חוק שמקבל מספר ומחזיר מספר. פונקציה חסומה אומרת שכל הערכים שלה לא גדולים מדי. זה אומר: יש מספר קבוע שממנו אף ערך לא גדול מאוד. אם כל הערכים של הפונקציה נמצאים בתוך קטע קטן, הפונקציה חסומה. פונקציה חסומה גם אם היא גם חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה. "חסומה מלמעלה" אומרת שיש גבול עליון שלא ע...
משפטי ויירשטראס
יש שני משפטים חשובים על פונקציות רציפות (פונקציה ששינוי קטן בקלט מביא לשינוי קטן בתוצאה). הם מדברים על פונקציות המוגדרות על קטע סגור וחסום, כלומר על טווח מספרים שאפשר לסגור בשתי נקודות. המשפט הראשון: פונקציה כזאת לא יכולה לגדול בלי סוף. זאת אומרת, כל הערכים שלה נשארים בתוך גבול מסוים. המשפט השני...
סדרה (מתמטיקה)
סדרה היא רשימה מסודרת של פריטים. כל פריט מקבל מקום מספרי. סדרה יכולה להיגמר או להמשיך בלי סוף. סדרה שסופית נקראת גם רשימה. כותבים איברים בדרך כלל כך: a1,a2,a3,… . המספר אחרי האות מראה את המיקום. התכנסות פירושה שהאיברים מתקרבים לערך מסוים. חסומה משמעותה שהמספרים לא גדלים בלי סוף. סדרת קושי היא כ...
משפט היינה-בורל
משפט היינה-בורל אומר בקצרה: בקבוצות של המספרים הממשיים ובמרחבים האוקלידיים R^n, קבוצה קומפקטית אם ורק אם היא סגורה וחסומה. סגורה = כוללת את נקודות הגבול שלה. חסומה = לא מתרחקת לאינסוף. קומפקטית כאן אומרת שכל כיסוי פתוח שלה אפשר לצמצם לתקציר קטן, כלומר למצוא תת-כיסוי סופי. כיסוי פתוח זה אוסף של קבוצו...
משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)
משפט ליוביל אומר: אם פונקציה מיוחדת ניתנת לגזירה בכל מקום ונשארת קטנה תמיד, היא חייבת להיות קבועה. גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847. ניתן לראות את הנגזרת של הפונקציה כאמצע של הערכים שלה על מעגל סביב נקודה. אם הערכים של הפונקציה לא גדלים בכלל, אז כשהמעגל גדול מאוד הממוצע יתקרב ...
משפט בולצאנו-ויירשטראס
המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה. אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף ...
כדור (טופולוגיה)
במרחב metrי (מרחב שבו מודדים מרחק) כדור הוא כל הנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מרדיוס נתון. כדור פתוח עם רדיוס r ומרכז p מסומל B_r(p). זה אומר: כל נקודה שהמרחק שלה מ-p קטן מ-r שייכת לכדור. כאן d היא פונקציית המרחק, שהיא דרך למדוד מרחק בין נקודות. במישור הרגיל, המרחק הוא אורך הקו הישר שמחבר בין שתי נקו...
תת-סדרה
תת-סדרה היא כשמגשירים חלק מהאיברים של סדרה ושומרים על הסדר. למשל, אם a_n=1/n, אפשר לקחת את כל האיברים הזוגיים ולקבל b_n=1/(2n). סדרה היא גם תת-סדרה של עצמה. כדי לבנות תת-סדרה בוחרים רשימה עולה של מספרי מיקום n_k. התת-סדרה היא a_{n_k}. המספרים האלה נקראים אינדקסים, והם אומרים איזה איבר לקחת. אינדקס...
פונקציה רציפה במידה שווה
רציפות אומרת: אם נזיז מעט את הקלט, הערך ישתנה מעט. רציפות במידה שווה אומר שיש לכל כמות שינוי אפשרית מרחק אחד בלבד שיעבוד לכל הקטע. זה אומר שהפונקציה לא מתפרצת במקום מסוים. אם הפונקציה רציפה על קטע שסגור וחסום (קטע שיש לו גבולות), אז היא גם רציפה במידה שווה. זה משפט חשוב שנקרא משפט קנטור. תנאי נו...
אריאל רובינשטיין
אריאל רובינשטיין נולד ב-13 באפריל 1951 בירושלים. הוא פרופסור לכלכלה באוניברסיטת תל אביב. הוא למד מתמטיקה וכלכלה באוניברסיטה העברית. בגיל צעיר הפך לפרופסור. עבד גם בארצות הברית ובמעבדות מחקר. הוא חוקר "תורת המשחקים". זה ענף שבודק איך אנשים שמקבלים החלטות משפיעים זה על זה. גם חקר מיקוח. מיקוח זה מ...