חשבון וריאציות
חשבון וריאציות עוסק במציאת עקומה או משטח שהופכים מספר לקטן או גדול מאד. פונקציונל הוא כלי שמקבל עקומה ומחזיר מספר. כלים אלה פותחו לפני מאות שנים. מדענים חשובים שעבדו על זה הם האחים ברנולי, אוילר ולגראנז'. בעיות כמו הברכיסטוכרון (הדרך שהחלקיק מגיע הכי מהר) נתנו דחיפה גדולה לתחום. מטרת התרגיל היא...
מכניקה אנליטית
מכניקה אנליטית היא דרך לכתוב חוקים של תנועה. היא הומצאה לפני הרבה שנים על ידי מדענים כמו לגראנז' והמילטון. ניוטון אמר שכוחות גורמים לגופים להשתנות במהירות. מאוחר יותר מצאו חוקי שימור חשובים, כמו אנרגיה ותנע. נמצא גם רעיון שנקרא עקרון הפעולה: הדרך שבה משהו נע מקיימת כלל מיוחד. לגראנז' המציא דרך ...
לגראנז'יאן
לגראנז'יאן הוא כלי במתמטיקה לפיזיקה. פונקציה (כלל שמקבל ערכים ומחזיר ערך) זה מסייע לכתוב חוקי תנועה. המשוואות שמקבלים ממנו נקראות משוואות אוילר-לגראנז'. אלה שוות בעקרון לחוקי התנועה של ניוטון. הלגראנז'יאן בונה על שתי אנרגיות. אנרגיה קינטית היא אנרגיית התנועה. אנרגיה פוטנציאלית היא אנרגיה בגלל המיקו...
ברכיסטוכרון
ברכיסטוכרון היא העקומה שמביאה זמן נסיעה קצר ביותר. חרוז זולג על תיל בלי חיכוך. כוח הכבידה (המשיכה למטה) משפיע עליו. הקו הישר אולי קצר, אבל הוא לא הכי מהיר. על תיל שקמור כלפי מטה החרוז יכול להאיץ מהר יותר. הצורה המהירה נקראת ציקלואידה. ציקלואידה היא עקומת גל שנוצרת על ידי נקודה על גלגל מתגלגל. הח...
עקרון המילטון
עקרון המילטון אומר שמערכת פיזית בוחרת מסלול שבו "הפעולה" היא מיוחדת. פעולה היא סכום של משהו שנקרא לגראנז'יאן לאורך הזמן. לגראנז'יאן הוא ההפרש בין האנרגיה התנועהית (האנרגיה של התנועה) לאנרגיה הפוטנציאלית (האנרגיה של המיקום). אם מחשבים את השינוי הקטן ביותר של הפעולה, מקבלים חוקי התנועה. בדוגמה פשוטה,...
ז'וזף-לואי לגראנז'
ז'וזף-לואי לגראנז' נולד בטורינו ב־1736 ומת ב־1813 בפריז. אביו עבד בחצר המלך. המשפחה איבדה חלק מרכושה. הוא למד מתמטיקה לבד ונהיה מוכשר מאוד. בגיל 19 כבר היה פרופסור במכללה בטורינו. אוילר, מדען מפורסם, עזר לו לקבל הכרה. לגראנז' פרסם מאמרים על גלי קול, תמות של מיתרים, וסדרות מספרים. זה היה השם של הס...