מכניקה אנליטית היא אוסף ניסוחים למכניקה הקלאסית שפותחו במאות ה-18 וה-19 על ידי לגראנז', המילטון ויעקובי. במקום לעבוד ישירות עם כוחות וקטוריים, משתמשים כאן בקואורדינטות מוכללות (קואורדינטות מתאימות לבעיה) ובפונקציות אלגבריות שמסכמות את האנרגיות של המערכת.
היסודות של המכניקה הקלאסית הונחו על ידי ניוטון. מדענים כמו אוילר ולייבניץ חקרו גדלים נשמרים, כגון אנרגיה ותנע. רעיונות אלו הובילו לעקרון הפעולה המינימלית, שלפיו מסלול הגוף מקיים תכונה מיוחדת של 'פעולה' מינימלית או סטציונרית.
לגראנז' ניסח מערכת שבה כותבים את משוואות התנועה מפונקציה אחת, הלגראנז'יאן (L). הלגראנז'יאן הוא ההפרש בין אנרגיה קינטית לאנרגיה פוטנציאלית. בעזרת קואורדינטות מוכללות ולגראנז'יאן מקבלים את משוואות אוילר-לגראנז' שמהוות משוואות תנועה מסדר שני ותופסות אילוצים בצורה יעילה.
המילטון פיתח ניסוח אחר שבו משתמשים בפונקציה שנקראת המילטוניאן (H). משוואות המילטון הן משוואות מסדר ראשון במרחב הפאזה (מרחב שתפקידו לתאר מצבים של קואורדינטות ותנעים). יעקובי הראה שקיימת גם משוואת המילטון-יעקובי, שמצמצמת את כל הבעיה לפונקציה אחת ומקשרת בין מכניקה לאופטיקה.
אמי נתר הראתה שקיימת קשר ישיר בין סימטריה של המערכת לחוקי שימור. למשל, סימטריות בזמן מקשרות לשימור האנרגיה, וסימטריות במרחב לשימור התנע.
עקרון הפעולה הסטציונרית קובע שהמסלול שמממשת המערכת מייצר ערך סטציונרי של האינטגרל של הלגראנז'יאן בזמן. קואורדינטות מוכללות מקטינות את מספר המשתנים הדרושים לתיאור הבעיה.
הלגראנז'יאן L = T - U הוא פונקציה של קואורדינטות ומהירויות. ניתן לבצע התמרת לז'נדר כדי לקבל את ההמילטוניאן H, שכתוב בעזרת תנעים מוכללים p_i. קיימים גם אופרטורים אחרים, כמו הרות'יאן.
דרישת היות הפעולה סטציונרית מניבה את משוואות אוילר-לגראנז'. דרך ההמילטוניאן מקבלים את משוואות המילטון. משוואת המילטון-יעקובי נותנת ניסוח נוסף עם פונקציה S, שמאפשרת למצוא תנעים ושימוריות.
במקרה פשוט בקואורדינטות קרטזיות ולכוחות משמרים, הלגראנז'יאן נותן את אותה תוצאה כמו חוקי ניוטון: m a = F. כאן הכוח נגזר מהגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית.
מכניקה אנליטית משמשת רבות בפיזיקה מודרנית. היא פחות מתאימה לבעיות תרמודינמיות עם מספר עצום של חלקיקים, שם משתמשים במכניקה סטטיסטית. מצד שני, רעיונות אנליטיים האיצו את מעבר המושגים לקוונטום: בהסתמך על פורמליזמים אלה בנויה מכניקת הקוונטים ומשוואת הגלים.
מכניקה אנליטית היא דרך לכתוב חוקים של תנועה. היא הומצאה לפני הרבה שנים על ידי מדענים כמו לגראנז' והמילטון.
ניוטון אמר שכוחות גורמים לגופים להשתנות במהירות. מאוחר יותר מצאו חוקי שימור חשובים, כמו אנרגיה ותנע. נמצא גם רעיון שנקרא עקרון הפעולה: הדרך שבה משהו נע מקיימת כלל מיוחד.
לגראנז' המציא דרך לכתוב את כל הבעיה באמצעות פונקציה אחת בשם לגראנז'יאן. לגראנז'יאן (פונקציה של אנרגיות) הוא ההפרש בין אנרגיה קינטית לאנרגיה פוטנציאלית. מהפונקציה הזו מקבלים משוואות תנועה שמתחשבות באילוצים בקלות.
המילטון כתב ניסוח אחר עם פונקציה שנקראת המילטוניאן (פונקציה אחרת של אנרגיות). משוואות המילטון מתארות איך קואורדינטות ותנעים משתנים בזמן. יעקובי עזר לקבץ את הכל למשוואה אחת חשובה.
אמי נתר הראתה: אם יש סימטריה (חזרה על צורה או פעולה), אז יש גודל ששומר על עצמו. לדוגמה, אם הכל זהה בזמן, האנרגיה נשמרת.
עקרון הפעולה אומר: המסלול הוא מיוחד מבחינת האינטגרל של הלגראנז'יאן. קואורדינטות מוכללות עוזרות לתאר מצבים פשוטים יותר, כמו רכבת הרים שמתוארת על ידי מרחק על המסילה.
משוואות אוילר-לגראנז' ומשוואות המילטון הן דרכים לקבל את חוקים כמו m a = F. כלומר, הניסוח האנליטי מחזיר את חוקי ניוטון במקרים הרגילים.
מכניקה אנליטית חשובה בפיזיקה מודרנית. היא לא פותרת בקלות בעיות עם המון חלקיקים, ולכן משתמשים בסטטיסטיקה. אבל רעיונות ממנה חשובים גם במכניקת הקוונטים.
תגובות גולשים