ברכיסטוכרון

בְּרָכִיסטוֹכְרוֹן הוא העקומה שעונה על השאלה: נתונות נקודות a ו-b, כאשר a אינה מתחת ל-b, מה צורת התיל שהחרוז המחליק עליו (ללא חיכוך) יעבור בזמן הקצר ביותר? המילה מגיעה מיוונית ומשמעותה "הזמן הקצר ביותר".


הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קו ישר, אבל קו ישר לא מנצל את כוח הכובד מספיק כדי להאיץ את החרוז. לכן המסלול המהיר יותר צריך להיות קמור כלפי מטה. באמצעות חישוב מתמטי נמצא שהצורה המבוקשת היא ציקלואידה (עקומת גל שנוצרת על ידי נקודה על גלגל מתגלגל).


הבעיה נפתרת על ידי חשבון וריאציות, תחום שמחפש פונקציונל (כמו זמן) המינימלי בין מסלולים שונים. מתחילים להציג את הזמן כתוצאה של המהירות והאורך של המסלול: dt = ds/v, כאשר ds = sqrt(1+·y'^2) dx הוא אלמנט האורך, ו-v נקבע משימור אנרגיה כ-v = sqrt(2 g y) (כאשר y היא גובהו של החרוז ו-g תאוצת הכובד).

הפונקציונל של הזמן הוא

Delta t = ∫ sqrt(1+y'^2)/sqrt(2 g y) dx

מיישמים את משוואת אוילר-לגראנז' או את זהות בלטרמי, ומשיגים משוואה פשוטה:

y (1 + y'^2) = 2 A (A קבוע)

מפרידים משתנים ופתרון באמצעות הצבה y = A sin^2(θ/2) נותן את הצורה הפרמטרית:

x = A (θ - sin θ)
y = A (1 - cos θ)

אלה הן משוואות הציקלואידה.


אם רוצים למצוא את מנהרת הרכבת הקצרה בזמן בין שתי ערים בתוך כדור הארץ, צריך לקחת בחשבון ששדה הכבידה והכיוון שלו משתנים לאורך המסלול. בהנחת צפיפות אחידה של כדור הארץ, תאוצת הכובד גדלה ליניארית מ-0 במרכז עד g על פני השטח. הפתרון במקרה הכללי שייך למשפחת הצורות הציקלואידיות המותאמות: במקרה זה מתקבלת עקומה שנקראת היפוציקלואיד, נקודה על מעגל קטן שמתגלגל בתוך מעגל גדול.


בהנחת צפיפות אחידה מתקבל g(r)=g r/R ופוטנציאל U(r)=g r^2/(2R). מהירות תלויה ב-r כ-v = ω sqrt(R^2 - r^2), עם ω = sqrt(g/R). עבור מסלול r(φ) בקואורדינטות פולריות הזמן הוא

T = (1/ω) ∫_0^{φ0} sqrt((r^2 + r'^2)/(R^2 - r^2)) dφ

גם כאן משתמשים בזהות בלטרמי כדי לפתור, והתוצאה היא היפוציקלואידית.


גלילאו ניסה לפתור את הבעיה ב-1638 וטעה; חשב שהפתרון הוא קשת מעגל. יוהאן ברנולי הציג את הבעיה ב-1696. בשנתיים שלאחר מכן פתרו את הבעיה יוהאן ברנולי, יאקוב ברנולי, אייזק ניוטון, גוטפריד לייבניץ ומרקיז דה לופיטל. ניוטון פתר את הבעיה בלילה אחד ושלח את הפתרון בעילום שם. יאקוב ברנולי פיתח גישות אנליטיות חדשות, ושיטות אלה פותחו אחר־כך על ידי אוילר והפכו לחלק ממה שנקרא חשבון וריאציות.

ברכיסטוכרון היא העקומה שמביאה זמן נסיעה קצר ביותר. חרוז זולג על תיל בלי חיכוך. כוח הכבידה (המשיכה למטה) משפיע עליו.


הקו הישר אולי קצר, אבל הוא לא הכי מהיר. על תיל שקמור כלפי מטה החרוז יכול להאיץ מהר יותר. הצורה המהירה נקראת ציקלואידה. ציקלואידה היא עקומת גל שנוצרת על ידי נקודה על גלגל מתגלגל.


החוק אומר שזמן הנסיעה שווה לאורך המסלול חלקי המהירות. שומרים על אנרגיה כדי למצוא את המהירות כתלות בגובה. הפתרון המתמטי נותן משוואות פרמטריות פשוטות:

x = A (θ - sin θ)
y = A (1 - cos θ)

הן מייצרות את הציקלואידה.


אם מחפרים מנהרה בין שתי ערים בתוך כדור הארץ, כוח הכבידה משתנה. בהנחה שכדור הארץ צפוף כזה בכל מקום, הפתרון הופך לעקומה שנקראת היפוציקלואיד. היפוציקלואיד נוצרת על ידי נקודה על גלגל קטן שמתגלגל בתוך גלגל גדול.


גלילאו ניסה לפתור את הבעיה והוא טעה. יוהאן ברנולי פרסם את השאלה ב-1696. בין הפותרים היו יוהאן ויאקוב ברנולי, ניוטון ולייבניץ. ניוטון פתר במהירות בלילה אחד.