חבורת לי
חבורת לי היא קבוצה שיש עליה גם חוקים של חבורה וגם צורה חלקה. צורה חלקה זה כמו משטח בלי קפלים. בחבורה יש כפל והופכי. בכוחנו לעבור על פעולות אלה בעדינות. חבורת לי נקראת על שם מתמטיקאי בשם סופוס לי. אלגברת לי היא אוסף הכיוונים ליד נקודת הזהות של החבורה. כיוונים אלה מסבירים איך לנוע מעט מהנקודה. יש שם...
אלגברת לי
אלגברת לי היא מבנה מתמטי על מרחב של וקטורים. וקטור הוא חץ במרחב. יש לה פעולה מיוחדת שנקראת סוגריים [x,y]. זו לא מכפלה רגילה. תמיד [x,x]=0. יש כלל על שלושה איברים שנקרא זהות יעקובי. זה אומר שסכום של שלושה ביטויים שווה 0. - אם כל הסוגריים שווים 0, זה אלגברה פשוטה. - R^3 עם המכפלה הווקטורית היא דוגמה...
החבורה הליניארית הכללית
GL_n(F) היא קבוצת כל המטריצות ההפיכות בגודל n על n. מטריצה היא טבלה של מספרים. "הפיכה" אומרת שיש לה מטריצה הופכית. הפעולה היא כפל מטריצות. יש גם מטריצת יחידה שמשמשת כאיבר ניטרלי. אפשר לראות את GL_n(F) גם בתור כל ההעתקות הליניאריות ההפיכות של מרחב וקטורי בממד n. מרחב וקטורי הוא מקום שבו עובדים עם וקט...
יריעה חלקה
יריעה חלקה היא מקום שבו כל נקודה נראית כמו חלק קטן מהמישור. מפה היא דרך להמיר חלק מהיריעה לנקודה ב-R^n. אוסף מפות שמתאימות אחת לשנייה נקרא אטלס דיפרנציאלי. היריעה חשובה כי מאפשרת לעשות חישובים כמו במישור. אפשר להוסיף לה מבנים נוספים. לדוגמה, אם שמים עליה חוקי כפל חלקים, מקבלים חבורה מיוחדת. יש דרך...