יריעה חלקה

יריעה חלקה היא מבנה טופולוגי שבו כל נקודה מקיימת "מפה" מקומית למרחב האוקלידי, כך שמעברי קואורדינטות בין מפות הם פונקציות חלקות. מפת קואורדינטות היא חיבור בין קבוצה פתוחה על היריעה לבין תת-קבוצה של ‏R^n. אוסף מפות שמתנהג טוב ביחד נקרא אטלס דיפרנציאלי. שתי אטלסים שקולים אם האיחוד שלהם עדיין נותן אטלס דיפרנציאלי, כלומר המעברים בין כל המפות נשארים חלקים.

היריעה החלקה מאפשרת להכליל רבים מהכלים של האנליזה מהמרחב האוקלידי. למשל, אפשר להכליל משפטים כמו משפט הפונקציות ההפיכות המקומיות ומשפט הקיום והייחוד למשוואות דיפרנציאליות. ניתן גם להוסיף מבנים נוספים ליריעה החלקה: אם מוסיפים מבנה של חבורה והפעולות חלקות, מקבלים חבורת לי (Lie group). אם מציבים מטריקה חלקה על היריעה מקבלים יריעה רימנית.

אפשר להגדיר יריעה חלקה גם באופן פונקציונלי. במקום להסתכל על מפות מקומיות, מגדירים אלומת פונקציות חלקות: לכל קבוצה פתוחה מייעדים תת-אלגברה של פונקציות רציפות שנקראות חלקות. אלומה (sheaf) זו נשמרת תחת צמצום: צמצום של פונקציה חלקה הוא פונקציה חלקה. דרך גישה זו מגדירים גם מורפיזמים (פונקציות רציפות בין היריעות) שמושכים בחזרה פונקציות חלקות לפונקציות חלקות.

מבנה פונקציאלי שמקביל לחלוטין למבנה האוקלידי הוא הבסיס להגדרה זו. שתי ההגדרות שקולות: אטלס דיפרנציאלי יוצר אלומת פונקציות חלקות, ולהפך.

הספירה n-ממדית S^n ניתנת ליריעה חלקה על ידי מפות סטריאוגרפיות מהצפון ומהדרום. בבנייה זו מוציאים נקודה (הצפון) וממפים את השאר אל R^n. לדוגמה בספירה 1 (S^1) אפשר לכסות את המעגל בשתי מפות פתוחות, והקואורדינטה המקומית יכולה להיות ההטלה על ציר ה-Y.

אם מזדהים את S^1 עם מעגל היחידה בממשיים-מרוכבים, פעולת הכפל במרוכבים נותנת ל-S^1 גם מבנה של חבורה.

פונקציה f ממניפולד M לממשיים נקראת חלקה בנקודה p אם בחרנו מפה מקומית סביב p וההרכבה של f עם ההיפוך של המפה היא פונקציה חלקה ב-R^n. משמעות משפטית היא שהחלקות היא גלובלית ביחס לשינוי קואורדינטות, בגלל שהמעברים בין מפות הם חלקים.

באותו אופן, פונקציה בין שתי יריעות היא חלקה אם בכל מפה מקומית ההרכבה בין הקואורדינטות היא פונקציה חלקה. למשל הפונקציה f(x,y)=x+y שרירותית על S^1 יכולה להיות חלקה לפי כל המפות המקומיות. לעומת זאת, פונקציית הזווית arg(e^{i heta}) איננה חלקה על כל S^1 בגלל קפיצה של 2‏️π בנקודת המעבר.

הפונקציה שמשלחת כל נקודה לנקודה האנטיפודית שלה f(x)=-x היא חלקה על S^n. למעשה זו דיפאומורפיזם, כלומר פונקציה חלקה עם הופכי חלק.

קיימות גם פונקציות חלקות מיוחדות שנקראות bump functions: פונקציות שהן 1 על קבוצה סגורה ומתאפסות מחוץ לקבוצה פתוחה שמכילה אותה. סוג כזה של פונקציות לא קיים במידה האנליטית.

המרחב המשיק בנקודה p, T_pM, הוא מרחב וקטורי שמייצג קירוב ליניארי של היריעה בקרבת p. איברי המרחב המשיק נקראים וקטורים משיקים. אפשר לראות וקטור משיק כפעולה שמקבלת פונקציות חלקות ומחזירה מספרים, ופועלת כנגזרת לכיוון מסוים. כלומר היא ליניארית ומקיימת את כלל לייבניץ: v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g).

אם משתמשים בקואורדינטות מקומיות (x_1,...,x_n), אז המדרגים החלקיים בנקודה, ∂/∂x_i|_p, מהווים בסיס ל-T_pM. ממד המרחב המשיק שווה לממד היריעה.

יש עוד דוגמאות רבות למניפולדים ולפונקציות חלקות, כמו מבנים עם סימטריות וחבורות על פני משטחים שונים.

יריעה חלקה היא מקום שבו כל נקודה נראית כמו חלק קטן מהמישור. מפה היא דרך להמיר חלק מהיריעה לנקודה ב-R^n. אוסף מפות שמתאימות אחת לשנייה נקרא אטלס דיפרנציאלי.

היריעה חשובה כי מאפשרת לעשות חישובים כמו במישור. אפשר להוסיף לה מבנים נוספים. לדוגמה, אם שמים עליה חוקי כפל חלקים, מקבלים חבורה מיוחדת.

יש דרך אחרת להגדיר יריעה. מגדירים קבוצה של פונקציות שנקראות חלקות. אלה פונקציות שניתן לגזור עליהן כמה שצריך. חוקי האלומה אומרים: אם פונקציה חלקה חלקית, היא עדיין חלקה באזור קטן יותר.

הספירה S^n היא דוגמה חשובה. כדי למפות את הספירה משתמשים בהטלה סטריאוגרפית: מוציאים את הקוטב הצפוני וממפים את השאר ל-R^n. כך מכסים את כל הספירה בשתי מפות.

במקרה של המעגל S^1, אפשר להשתמש בשתי מפות פשוטות. אם מזהים את המעגל עם המספרים המרוכבים על המעגל, הכפל במרוכבים נותן למעגל חיבור וחבורה.

פונקציה על יריעה היא חלקה אם בקואורדינטות המקומיות היא פונקציה חלקה ב-R^n. משמעות הדבר: אפשר לחשב נגזרות רגילות אחרי שממירים למפה.

לדוגמה, f(x,y)=x+y יכולה להיות חלקה על המעגל. לעומת זאת, פונקציית הזווית arg לא חלקה על כל המעגל בגלל קפיצה בערכים.

בכל נקודה יש "מרחב משיק". זהו קירוב ישר ליריעה ליד הנקודה. וקטורים משיקים הם כמו כיוונים אפשריים להסתכל בהם. הם פועלים על פונקציות כמו נגזרות, ומקיימים את כלל לייבניץ: v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g).

אם משתמשים בקואורדינטות מקומיות, המדרגים החלקיים מהווים בסיס למרחב המשיק. ממד המרחב המשיק שווה לממד של היריעה.

קיימות עוד דוגמאות רבות ללימוד, כמו חרוטים, טורוסים וספירות עם מבנים שונים.