מרחב מטרי שלם
מרחב מטרי שלם הוא מרחב שבו כל סדרת קושי מתכנסת לנקודה. סדרת קושי היא סדרה שהמרחקים בין איבריה נעשים קטנים מאוד. דוגמה פשוטה: המספרים הממשיים שלמים. המספרים הרציונליים לא שלמים. יש רציונליים שמתקרבים למספר שלא רציונלי, בשם שורש 2. השלמה היא מילוי החורים במרחב. מוסיפים נקודות כדי שכל סדרה תקבל גבול...
משפט הקטגוריה של בר
משפט בר אומר שמשתתף חשוב בטופולוגיה. הוא אומר: במקומות מסוימים, קבוצת "הרבה חלקים קטנים" לא יכולה להכיל אזור פתוח. "קבוצה מקטגוריה ראשונה" זה אומר שקבוצה היא איחוד של הרבה קבוצות קטנות. "דליל" אומר שהקבוצה לא תופסת אזור פתוח אפילו אחרי שסוגרים אותה. דוגמה: המספרים הרציונליים מחולקים להרבה נקודות, ו...
הלמה של קנטור
הלמה של קנטור אומרת: קחו רשימה של קטעים על קו. כל קטע בתוך הקודם. אם אורך הקטעים קטן וקטן עד שהוא נעלם, אז יש נקודה אחת בלבד שבכל הקטעים. קטע סגור הוא קטע שכולל את שני הקצוות שלו. הקצוות השמאליים של הקטעים עולים כל הזמן. הקצוות הימניים יורדים כל הזמן. המרחק בין הקצוות קטן עד שאינו קיים. אז שני הצד...