משפט הקטגוריה של בר

משפט הקטגוריה של בר הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית ובטופולוגיה. הוא קובע כי כל מרחב מטרי שלם וכל מרחב רגולרי קומפקטי מקומית הם מרחבי בר. משמעות הדבר היא: אם קבוצה A היא 'קטגוריה ראשונה' (כלומר איחוד בן-מניין של קבוצות דלילות), אז אין לה פנים לא ריקים.

"קטגוריה ראשונה" או "קבוצה מקטגוריה ראשונה" פירושה איחוד של ספירה של קבוצות דלילות. "דליל" (nowhere dense) פירושו שקירוב הקבוצה, כלומר הסגירה שלה, אין לה פנים פתוחים. לדוגמה, המספרים הרציונליים הם קבוצה מקטגוריה ראשונה. למרות זאת, הסגור שלהם הוא כל הישר הממשי, ולכן הפנים של הסגור שלהם הוא כל הישר.

משפט בר הראשון: יהי X מרחב מטרי שלם. אזי X הוא מרחב בר.

משפט בר השני: יהי X מרחב רגולרי קומפקטי מקומית. אזי X הוא מרחב בר. הדבר נכון בפרט עבור מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית.

הרעיון הכללי: נניח שיש קבוצה A שהיא איחוד סופי-ספירתי של קבוצות דלילות A_n. כדי להראות ש-X הוא מרחב בר, מוכיחים שכל פתיחה U מכילה נקודה מחוץ ל-A. בונים בתוך U סדרה של קבוצות קומפקטיות B_n, כאשר כל B_n בעלת פנים לא ריק ו-B_{n+1} נמצאת בתוך הפנים של B_n.

הקמפטקטיות (תכונה המבטיחה שתת-כיסוי פתוח מקבל תת-כיסוי סופי) של כל B_n מאפשרת להראות שהחיתוך המשולב B = ⋂ B_n אינו ריק. כל נקודה x ב-B לא שייכת לאף A_n, ולכן היא שייכת ל-U ולמשלים של A. כך U חותכת את המשלים של A, ולכן A לא יכול להכיל אזור פתוח שלם.

הוכחה זו מבוססת על תכונות קומפקטיות ועל המבנה של קבוצות דלילות. מהמשפט נובעים כמה משפטים חשובים באנליזה, כגון משפט ההעתקה הפתוחה, משפט הגרף הסגור ומשפט בנך-שטיינהאוס. כמו כן, המשפט מראה שמרחבים כמו R^n הם מרחבי בר.

המשפט הוכח לראשונה ב-1899 על-ידי רנה-לואי בר.

משפט בר אומר שמשתתף חשוב בטופולוגיה. הוא אומר: במקומות מסוימים, קבוצת "הרבה חלקים קטנים" לא יכולה להכיל אזור פתוח.

"קבוצה מקטגוריה ראשונה" זה אומר שקבוצה היא איחוד של הרבה קבוצות קטנות. "דליל" אומר שהקבוצה לא תופסת אזור פתוח אפילו אחרי שסוגרים אותה. דוגמה: המספרים הרציונליים מחולקים להרבה נקודות, והם מקטגוריה ראשונה.

אם X הוא מרחב עם מרחק שמלא (מרחב מטרי שלם), אז X הוא מרחב בר. גם אם X רגולרי וקומפקטי מקומית, הוא מרחב בר.

הרעיון: לוקחים קבוצה A שיוצאת כאיחוד של קבוצות דלילות. בתוך כל אזור פתוח U בונים רצף של קבוצות קטנות ומסודרות B_n עם פנים לא ריקים. משתמשים בתכונה של קומפקטיות כדי להראות שחיתוך כל ה-B_n מכיל נקודה. נקודה זו לא שייכת ל-A. לכן U תמיד יכיל נקודה מחוץ ל-A. זה מוכיח ש-A לא יכול להיות עם פנים פתוחים.

המשפט הוכח ב-1899 על-ידי רנה-לואי בר. משמש להוכחות חשובות במתמטיקה.