הלמה של קנטור

הלמה של קנטור אומרת כך: אם ישנה סדרה של קטעים סגורים על הישר, שכל קטע בתוך הקודם (קטעים מקוננים) והאורך שלהם שואף לאפס, אז קיים בדיוק נקודה אחת ששייכת לכל הקטעים האלה.

הניסוח המקביל עם גבולות של נקודות: נניח שיש שתי סדרות של נקודות a_n ו-b_n כך ש-a_n עולות (כל פעם לא קטנה מהקודמת) ו-b_n יורדות, וכל a_n תמיד קטן או שווה ל-b_n. אם ההפרש b_n-a_n שואף לאפס, שתי הסדרות מתכנסות לאותו גבול c. הנקודה c נמצאת בכל הקטעים [a_n,b_n] והיא היחידה שכזו.

מכיוון שהקטעים מקוננים, סדרת a_n מונוטונית עולה וסדרת b_n מונוטונית יורדת. מאחר ש-b_n חסומה מלרע ו-a_n חסומה מלמעלה, הן מתכנסות: a_n מתכנסת ל-sup של ערכיה, ו-b_n ל-inf של ערכיה. הנתון שההפרש b_n-a_n שואף לאפס נותן שבמ limite שתי התוצאות שוות. קל לראות שאותו ערך המשותף, שקראנו לו c, שייך לכל הקטעים. אם הייתה נקודה נוספת c' בכל הקטעים, כלל הסנדוויץ' (עקרון הסנדוויץ', שאומר שאם משהו חוסם בין שני גבולות שווים אז גם הוא מתכנס לאותו גבול) מראה ש-c'=c, ולכן הנקודה יחידה.

אם לא מניחים שהאורכים שואפים לאפס, עדיין יש נקודה משותפת, אך היא לא חייבת להיות יחידה. אפשר לקחת c = sup של נקודות ההתחלה a_n. לפי הגדרתו, לכל n מתקיים a_n ≤ c. בנוסף כל b_n מהווה חסם מלעיל של קבוצת a_n, ולכן c ≤ b_n. כך c שייך לכל הקטעים.

יש גרסה כללית למרחבים מטריים שלמים (מרחב שבו כל סדרה שמתרכזת פנימה באמת מתכנסת). בכל מרחב כזה, סדרה יורדת של קבוצות סגורות שקטרן הקוטר שלהן שואף לאפס, חותכת בנקודה משותפת יחידה. בתור תזכורת: במרחב מטרי קומפקטי (מרחב קטן במובן מתמטי) לא צריך לבדוק שהקוטר שואף לאפס; התנאי הזה נחוץ במרחבים לא קומפקטיים, כפי שממחיש הרצף של הקטעים [n, ∞).

הלמה של קנטור משמשת כדי להוכיח משפטים חשובים באנליזה, למשל את משפט בולצאנו־ויירשטראס ואת משפט היינה־בורל (שנוגעים להתכנסות ותכונות קומפקטיות).

הלמה של קנטור אומרת: קחו רשימה של קטעים על קו. כל קטע בתוך הקודם.
אם אורך הקטעים קטן וקטן עד שהוא נעלם, אז יש נקודה אחת בלבד שבכל הקטעים.

קטע סגור הוא קטע שכולל את שני הקצוות שלו.

הקצוות השמאליים של הקטעים עולים כל הזמן.
הקצוות הימניים יורדים כל הזמן.
המרחק בין הקצוות קטן עד שאינו קיים.
אז שני הצדדים מתקרבים לאותה נקודה c.
הנקודה c נמצאת בכל הקטעים.
אם הייתה עוד נקודה כזו, היא הייתה חייבת להיות אותה נקודה.

אם האורך לא שואף לאפס, עדיין יהיה לפחות נקודה משותפת.
היא לא תמיד תהיה יחידה.

בתנאים מתמטיים מתקדמים יותר זה נכון גם במקומות אחרים.
במקומות מסוימים (קומפקטיים) לא צריך לבדוק שהאורך קטן.
במקומות אחרים כן צריך.

כך, כשקטעים מקוננים וקטנים מאוד, הם נפגשים בנקודה אחת.