משפט השלמות של גדל
משפט השלמות הוכח על ידי קורט גדל ב‑1929. המשפט אומר שיש קשר בין אמת והוכחה. אם משפט נכון בכל מודל, אז אפשר להוכיח אותו. מודל = דרך להראות איך הדברים יכולים להיות אמיתיים. ניסוח שווה לזה: לכל תורה עקבית יש מודל. תורה עקבית = קבוצה של חוקים שאין בהם סתירות. ההוכחה של גדל גם מראה איך לבנות מודל כזה...
משפט הקומפקטיות
משפט הקומפקטיות אומר שאם כל קבוצה קטנה של משפטים מתקיימת, גם כל הקבוצה כולה יכולה להתקיים. מודל הוא מקום שבו המשפטים נכונים.\n\n= הוכחות למשפט =\nיש כמה דרכים להוכיח את המשפט. אחת מהן משתמשת במשפט השלמות של גדל. המשפט הזה מחבר בין "אין סתירה" לבין "יש מודל". דרך אחרת היא טופולוגית. שם מסתכלים על מרח...
עקביות (לוגיקה)
עקביות אומרת שאין סתירה בתוך מערכת חוקים. אם יש סתירה, אפשר להוציא ממנה דברים לא נכונים. אקסיומות הן חוקים בסיסיים. מודל הוא מבנה שמקיים את כל החוקים האלה. אם מוצאים מודל לתורה, זו הוכחה שהיא עקבית. יש דוגמאות מהגאומטריה, שבהן הראו עקביות ביחס לגאומרת המישור האוקלידית. גדל הראה ב-1930 שלכל קבוצה ע...
קורט גדל
קורט גדל (1906, 1978) היה מדען מתמטי חשוב. הוא נולד בברנו ועבר לארצות הברית. גדל למד מתמטיקה ולוגיקה. לוגיקה זה חקר כללים של חשיבה נכונה. ב-1930 קיבל דוקטורט. ב-1931 הראה משהו מפתיע: יש אמירות מתמטיות שאי אפשר להוכיח ולא ניתן להפריך אותן. זאת מהפכה בלימוד המתמטיקה. בימי המלחמה הוא עבר לאמריקה וגר ב...