משפט הקומפקטיות הוא משפט מרכזי בלוגיקה מתמטית. הוא מאפשר להבין מערכות אינסופיות של פסוקים על ידי בחינת תת־קבוצות סופיות שלהן. יש שתי גרסאות מקובלות: בתחשיב הפסוקים, ובשפה מסדר ראשון. בתחשיב הפסוקים המשפט קובע: לאוסף פסוקים יש מודל אם ורק אם כל תת־קבוצה סופית שלו יש לה מודל. מודל, מבנה או השמה שבהם הפסוקים מתקיימים. בגרסה של השפה מסדר ראשון הוכיח זאת אנטולי מלצב ב־1936: אם כל תת־קבוצה סופית של קבוצת פסוקים יש לה מודל, אז יש מודל לכל הקבוצה כולה.\n\nייתכן שהמשפט תלוי באקסיומת הבחירה. מספיק גרסה חלשה שלה, כמו למת העל־מסנרים (טענה על הרחבת מסנרים), כדי להוכיח את המשפט. לכן במשטרי תורת קבוצות בלי אקסיומת הבחירה יתכנו מצבים שבהם המשפט לא תקף.\n\n= הוכחות למשפט =\nקיימות הוכחות שונות לשתי הגרסאות. ההוכחה המקובלת נשענת על משפט השלמות של גדל. היא עובדת כך: מספיק להוכיח גרסה תחבירית של הקומפקטיות, אם כל תת־קבוצה סופית עקבית (כלומר אין סתירה בין הנוסחאות), אז הקבוצה כולה עקבית. מכיוון שכל הוכחה היא סופית, הטענה התחבירית קלה, ומשפט השלמות של גדל, שמקשר בין עקביות לבין קיום מודל, מסיים את העניין.\n\nיש גם הוכחות טופולוגיות: בחלל ההשמות הטיפוסי הקבוצות שמממשות פסוקים הן סגורות, והמרחב קומפקטי. לכן חיתוך של כל הקבוצות אינו ריק אם כל חיתוך סופי אינו ריק, זהו הרעיון שמבוסס על משפט טיכונוף. כמו כן קיימת הוכחה אלגנטית מתורת המודלים, המשתמשת בעל־מכפלות ובמשפט Łoś.\n\n= שימושים למשפט =\nמשפט הקומפקטיות מראה חולשות של הלוגיקה מסדר ראשון. למשל, בעזרת המשפט בונים שדה מסודר שאינו ארכימדי אבל שקול אלמנטרית לשדה הממשיים; מכאן שאי־אפשר להגדיר את התכונה "ארכימדיות" בשפה מסדר ראשון. עוד יישום חשוב, המיוחס לסקולם, הוא בניית מודל לא־סטנדרטי של האריתמטיקה (מודל בן מניה השקול אלמנטרית לטבעיים אך לא איזומורפי להם). עושים זאת על ידי הוספת הנוסחאות x>n עבור כל n. כל תת־קבוצה סופית כאן עקבית, לכן יש מודל כולל.\n\nמסקנה מעניינת היא שאקסיומת האינדוקציה אינה ניתנת לניסוח באופן שמאכסן איזומורפיזם בטווח הלוגיקה מסדר ראשון. בלוגיקה מסדר שני אפשר לנסח אותה, ולכן קומפקטיות וכמו כן משפט השלמות נופלים שם.\n\nניתן גם לעבור מתוצאות סופיות לאינסופיות בעזרת משפט הקומפקטיות. דוגמאות קלאסיות כוללות הוכחה של גרסאות אינסופיות של משפט ארבעת הצבעים ומשפט החתונה של הול. לבסוף, קומפקטיות היא אחת משתי התכונות המרכזיות שביחד עם משפט לוונהיים־סקולם היורד מאפיינות את הלוגיקה מסדר ראשון במסגרת משפט לינדסטרום.
משפט הקומפקטיות אומר שאם כל קבוצה קטנה של משפטים מתקיימת, גם כל הקבוצה כולה יכולה להתקיים. מודל הוא מקום שבו המשפטים נכונים.\n\n= הוכחות למשפט =\nיש כמה דרכים להוכיח את המשפט. אחת מהן משתמשת במשפט השלמות של גדל. המשפט הזה מחבר בין "אין סתירה" לבין "יש מודל". דרך אחרת היא טופולוגית. שם מסתכלים על מרחב של כל ההשמות. אם כל חיתוך של קבוצות סופיות לא ריק, אז גם החיתוך של כולן לא ריק.\n\n= שימושים למשפט =\nמשפט הקומפקטיות עוזר לבנות דוגמאות מעניינות. אפשר לבנות שדה של מספרים שהוא דומה לממשיים, אבל יש בו מספרים "גדולים מאוד". אפשר גם לבנות מודל לא סטנדרטי של המספרים הטבעיים. עושים זאת על ידי הוספת משפטים שאומרים x>n לכל מספר טבעי n. כל תת־קבוצה סופית של המשפטים האלה מתקיימת, לכן יש מודל לכל הקבוצה.\n\nהמשמעות היא שיש דברים שאי־אפשר לתאר בשפה מסדר ראשון. לדוגמה, אקסיומת האינדוקציה אינה ניתנת לתיאור כזה. משפט הקומפקטיות גם מאפשר להרחיב תוצאות סופיות לתוצאות אינסופיות. דוגמאות ידועות הן גרסאות אינסופיות של משפט ארבעת הצבעים ומשפט החתונה של הול.
תגובות גולשים