נקודת הצטברות
נקודת הצטברות היא נקודה שאם מתקרבים אליה תמיד יש נקודה נוספת מהקבוצה. דוגמה פשוטה: בקטע, כל הנקודות והקצוות הם נקודות הצטברות. אם כל סביבת הנקודה מכילה נקודה אחרת מהקבוצה, זו נקודת הצטברות. את כל נקודות ההצטברות קוראים הקבוצה הנגזרת. קבוצה נקראת סגורה אם היא כוללת את כל נקודות ההצטברות שלה. אם ...
נקודה מבודדת
נקודה מבודדת היא נקודה שאין לה שכנים אחרים בתוך הקבוצה. שכנים = נקודות קרובות מאוד אליה. במובן הפשוט: אם אפשר למצוא אזור קטן סביב נקודה ולא למצוא שם נקודות אחרות של הקבוצה, זו נקודה מבודדת. אזור קטן זה נקרא סביבה. קבוצה שבה כל הנקודות מבודדות נקראת קבוצה בדידה. יש קבוצות עם הרבה נקודות שאין בהן נק...
משפט בולצאנו-ויירשטראס
המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה. אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף ...
קבוצה סגורה
קבוצה סגורה היא קבוצה שמכילה את ה"שפה" שלה. השפה היא הקצוות של הקבוצה. לדוגמה הקטע [0,1] כולל את המספרים בין 0 ל-1 וגם את 0 ו-1. לכן הוא סגור. במרחב עם מרחק אומרים שקבוצה סגורה אם היא כוללת את כל נקודות ההצטברות שלה. נקודת הצטברות היא נקודה שסביב לה תמיד יש נקודה אחרת מהקבוצה. אפשר גם להגיד שקבוצה...
נקודת גבול
נקודת גבול היא נקודה שבכל אזור קטן מסביבה יש הרבה נקודות מהקבוצה. אינסוף אומר הרבה מאוד, שאי אפשר לספור. במרחב מטרי, כלומר מקום שבו מודדים מרחקים, נקודת גבול גם נקראת נקודת הצטברות. זה אומר שכל אזור קטן מסביב מכיל נקודה אחרת מהקבוצה. לסדרה, נקודת גבול היא המקום שאליו היא מתכנסת....