משפט בולצאנו-ויירשטראס

באנליזה המתמטית משפט בולצאנו, ויירשטראס אומר: לכל סדרה חסומה של נקודות במרחב האוקלידי R^n קיימת תת־סדרה מתכנסת. תת־סדרה מתכנסת היא סדרה שבין איבריה יש מערך של נקודות שמתקרב לערך מסוים, כלומר יש לה גבול. ניסוח שקול אומר שגם לכל קבוצה אינסופית וחסומה יש נקודת הצטברות, נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה.

את המשפט הוכיח ברנרד בולצאנו כבר ב-1817, ולאחר מכן הוכח שוב על ידי קרל ויירשטראס. הרעיון ההסברי פשוט: אם יש אינסוף נקודות שלא יכולות "לברוח" רחוק מדי, חלקן חייבות להיות קרובות מאוד אחת לשנייה. ההוכחה שנותנת גם בנייה קונסטרוקטיבית משתמשת בחלוקת הקטעים החסומים לבנים קטנים יותר עד שמגיעים לנקודה יחידה.

נוכיח עבור סדרה חסומה של מספרים ממשיים. נשמור קטע שמכיל את כל האיברים. נחלק את הקטע לשני חלקים סגורים. באחד מהחלקים יהיו אינסוף איברים של הסדרה. נבחר את החלק הזה ותחזור הפעולה באופן אינדוקטיבי. מתקבלת משפחה של קטעים מקוננים שאורכם שואף לאפס. לפי lema של קנטור חופף כל הקטעים בנקודה יחידה c.

כעת בונים תת־סדרה שמקיימת תכונה: בשלב k בוחרים איבר מהקטע ה-k שבו האינדקס גדול מכל מה שנבחר לפניו. כך מתקבלת תת־סדרה שכל איבריה מקובצים סביב c. כי אורך הקטעים שואף לאפס, מרחקי איברי התת־סדרה מ-c שואפים לאפס, ולכן התת־סדרה מתכנסת ל-c.

קיימת הוכחה אחרת המבוססת על שתי טענות: (1) בכל סדרה ממשית יש תת־סדרה מונוטונית (עולה או יורדת). (2) כל סדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת. משימוש חזרתי בהטלות על רכיבי וקטור ב-R^n מקבלים תת־סדרה שבה כל רכיב מתכנס, ולכן גם הווקטורים כולה מתכנסים.

משפט זה שקול ללמה של קנטור ולמשפט היינה, בורל. במרחבים מטריים המושג של קומפקטיות שקול לקומפקטיות סדרתית (התכונה של בולצאנו, ויירשטראס), אך במרחבים טופולוגיים כלליים שקילות זו עלולה להישבר.

המשפט של בולצאנו, ויירשטראס אומר: אם יש קבוצה חסומה עם אינסוף נקודות, יש נקודה קרובה להרבה מהנקודות. חסומה אומרת שהנקודות לא יכולות להתרחק מאוד. נקודת הצטברות היא נקודה שסביבתה תמיד כוללת נקודות מהקבוצה.

אפשר להבין את זה כך: קח קטע שמכיל את כל הנקודות. חלק אותו לשניים. בחלק אחד חייבות להיות אינסוף נקודות. קח אותו וחזור על החלוקה שוב ושוב. מקבלים קבוצה של קטעים שמתקצרים עד לנקודה בודדת. מתוך כל קטע בוחרים נקודה כך שהאינדקסים גדלים. כך בונים סדרה חדשה שהמרחקים שלה מהנקודה המשותפת שואפים לאפס. לכן היא מתכנסת אליה.

גם בפתרון אחר משתמשים ברעיון של למצוא תת־סדרה שכולם הולכים בעקביות למעלה או למטה, ואז היא מתכנסת כי היא חסומה.

ברנרד בולצאנו גילה את המשפט ב-1817, ואחר כך ויירשטראס הוכיח אותו שוב. זו עובדה חשובה במתמטיקה.