קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי
משטח רימן הוא משטח שבו עובדים עם מספרים מורכבים. מחפשים פונקציות מיוחדות שנקראות מרומורפיות. מרומורפית היא פונקציה שהיא חלקה רוב הזמן. היא יכולה "להתנהג חזק" בכמה נקודות בודדות. נקודה כזו קוראים לה קוטב. יש משפט בשם רימן־רוך שמראה רעיון פשוט: בעזרת נתון על מבנה המשטח אפשר למצוא פונקציה שאינה קבועה....
משטח רימן
הוא דוגמה למשטח רימן פרבולי משטח רימן הוא צורה מיוחדת שבה עובדים עם מספרים מורכבים. ליד כל נקודה הוא נראה כמו חלק קטן מהמישור של מספרים מורכבים. (מישור זה הוא מקום שבו מסמנים a+bi.) דוגמאות פשוטות הן הספירה והטורוס. יש גם צורות שאינן משטחים רימן, כמו סרט מביוס. אטלס הוא אוסף מפות שמכסה את כל המש...