קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי

במתמטיקה ובמחקר משטחי רימן קומפקטיים שואלים אם קיימות פונקציות מרומורפיות לא קבועות על המשטח. פונקציה מרומורפית היא פונקציה שהולומורפית (כלומר חלקה מבחינה מורכבת) בכל מקום חוץ ממספר נקודות בדידות שבהן יש לה קוטב. קוטב הוא נקודה שבה הפונקציה מתנהגת בצורה בלתי מוגבלת בצורה מובנית.

רעיונית, אפשר להשתמש במשפט רימן, רוך. אם נבחר נקודה p על המשטח ונגדיר מחלק מתאים D=(g+1) p (כאשר g הוא הגנוס, מספר ה"חורים" של המשטח), אי השוויון של רימן־רוך נותן שממד המרחב L(D) גדול או שווה ל־2. לכן יש בו פונקציות מרומורפיות לא קבועות. עם זאת זו הוכחה מעגלית: הוכחת רימן, רוך דורשת קודם לכן היכרות עם פונקציות מרומורפיות לא קבועות.

ז'אן-פייר סר הוכיח משפט סופיות חשוב: עבור כיסוי פתוח של M ואלומת הפונקציות ההולומורפיות, הממד של קוהומולוגיית צ'ך הראשונה H^1 ביחס לכיסוי הזה הוא סופי. כאן "קוהומולוגיית צ'ך" הוא כלי מתמטי שבודק כיצד פונקציות על חלקים שונים של הכיסוי מתחברות.

לפי משפט הסופיות בוחרים סביבה מקומית U1 סביב p עם קואורדינטה z כך ש-z(p)=0, ונקח U2=X\{p}. נסמן n את הממד של H^1 ביחס לכיסוי {U1,U2}. על החיתוך U1\{p} נסתכל על הפונקציות z^{-1},z^{-2},...,z^{-(n+1)}. האימג' שלהם בקוהומולוגיה תלויות ליניארית, ולכן יש צירוף ליניארי שאופס בקוהומולוגיה. משמעות הדבר היא שיש זוג פונקציות הולומורפיות f1 על U1 ו-f2 על U2 כך שההפרש f2-f1 שווה לצירוף זה על החיתוך.
מכאן מגדירים פונקציה g על X על ידי חיבור מתאים של f1 ו-f2: על U2 נקבע g=f2, ועל U1 נקבע g=f1+צירוף. שתי ההגדרות מתאימות על החפיפה, ולכן g מוגדרת היטב. g הולומורפית על X\{p} ובנוסף יש לה קוטב ב-p. כך הוצגה פונקציה מרומורפית לא קבועה עם קוטב נתון.

באופן דומה מראים שבמשטחים רימניים לא קומפקטיים קיימות פונקציות הולומורפיות לא קבועות. לעומת זאת, בממדים גבוהים יותר המשפט עלול להיכשל: קיימות יריעות מרוכבות שבהן אין פונקציות הולומורפיות או מרומורפיות לא קבועות.

משטח רימן הוא משטח שבו עובדים עם מספרים מורכבים. מחפשים פונקציות מיוחדות שנקראות מרומורפיות. מרומורפית היא פונקציה שהיא חלקה רוב הזמן. היא יכולה "להתנהג חזק" בכמה נקודות בודדות. נקודה כזו קוראים לה קוטב.

יש משפט בשם רימן־רוך שמראה רעיון פשוט: בעזרת נתון על מבנה המשטח אפשר למצוא פונקציה שאינה קבועה. אבל ההוכחה המפורטת של המשפט הזה משתמשת בעצמה בפונקציות מרומורפיות, ולכן לא נותנת כאן הוכחה עצמאית.

ז'אן-פייר סר הוכיח שאובייקט מתמטי שנקרא קוהומולוגיה (כלי שבודק איך פונקציות מתחברות על חלקים שונים של המשטח) הוא בגודל סופי במקרה הזה.

בעזרת זה בוחרים סביבת נקודה p עם קואורדינטה z. מחלקים את המשטח לשתי חלקות: אחת סביב p והשנייה שאר המשטח. בוחנים פונקציות כמו 1/z,1/z^2 ועוד. אם יש יותר פונקציות מאשר הממד הסופי, חייבת להיות תלות ביניהן. מהתלות הזאת מצליחים לחבר שתי פונקציות שונות וליצור פונקציה אחת שמוגדרת על כל המשטח. הפונקציה הזו חלקה בכל מקום חוץ מ-p, ושם יש לה קוטב.

אם המשטח לא קומפקטי, יש בדרך כלל פונקציות הולומורפיות לא קבועות. אבל כשעוברים לממדים גבוהים יותר, יש דוגמאות של יריעות מורכבות שאין עליהן פונקציות כאלה.