הוא דוגמה למשטח רימן פרבולי
במתמטיקה, משטח רימן הוא יריעה מורכבת חד-ממדית. כלומר, כל נקודה בה נראית כמו קטע פתוח מהמישור המרוכב. (המישור המרוכב הוא המרחב של מספרים מורכבים.) למרות שמבנה מקומי זה דומה בכל נקודה, המראה הגלובלי של המשטח יכול להשתנות. למשל, משטח רימן יכול להיות כמו הספירה או כמו הטורוס. המשטחים נקראו על שמו של ברנהרד רימן.
הרעיון המרכזי הוא שניתן להגדיר בין משטחים אלה פונקציות הולומורפיות. (הולומורפי פירושו: פונקציה מורכבת שניתן לגזור אותה במובן מורכב.) משטחים אלה מתאימים במיוחד לחקר פונקציות רב-ערכיות, כמו פונקציית השורש, שאינה מוגדרת היטב על המישור המרוכב כולו.
פונקציה מרוכבת f תיקרא ביהולומורפית אם היא הולומורפית, חד-חד-ערכית, וגם ההפיכה שלה הולומורפית. למעשה, אם פונקציה הולומורפית היא חד-חד-ערכית, אז היא בהכרח ביהולומורפית.
יהי X מרחב האוסדורף קשיר. מפה (chart) היא הומיאומורפיזם מקבוצה פתוחה ב-X לתת-קבוצה פתוחה של המישור המרוכב. אטלס הוא אוסף מפות כאלה שמכסה את כל X. (כמו אטלס גיאוגרפי: כל מפה מתארת חלק מהשטח.)
כאשר שתי מפות חופפות ניתן להגדיר העתקת-מעבר, שהיא ההרכבה של מפה אחת עם היפוך השנייה. שתי מפות תואמות הולומורפית אם מפת המעבר ביניהן היא ביהולומורפית. אטלס בו כל המפות תואמות הולומורפית נקרא אטלס הולומורפי.
אם X הוא מרחב האוסדורף קשיר ויש לו אטלס הולומורפי A, אז (X,A) נקרא משטח רימן. בדרך כלל מציינים בקיצור את המשטח ב-X.
על פי משפט היוניפורמיזציה, כל משטח רימן פשוט קשר שייך לאחד משלוש קטגוריות עיקריות. לכל משטח כזה קיימת מטריקה רימנית דו־ממדית יחידה, עם עקמומיות קבועה שיכולה להיות 0, 1 או -1. משטחים עם עקמומיות -1 נקראים היפרבולים. משטחים עם עקמומיות 0 נקראים פרבולים, למשל המישור המרוכב והטורוס. המשטח היחיד האליפטי (עקביות 1) עד כדי איזומורפיזם הוא הספירה של רימן.
למשטחים פרבוליים הכיסוי האוניברסלי דומה למישור המרוכב, וניתן לממשם כמרחב מנה של המישור ביחס לסריג. מבחינה טופולוגית אלו טורוסים. למשטחים היפרבוליים הכיסוי האוניברסלי הוא חצי המישור העליון, ומימושם נעשה באמצעות חבורות פוקס.
פונקציה הולומורפית על משטח X היא מפה המתחברת לאטלאס ההולומורפי. משפט ליוביל הכללי נכון גם כאן: על משטח רימן קומפקטי כל פונקציה הולומורפית היא קבועה. לעומת זאת, על משטח שאינו קומפקטי קיימות פונקציות הולומורפיות לא קבועות שמפרידות בין נקודות.
מושג חשוב זה של יריעה שמפרידה נקודות נקרא יריעת סטיין. משפטי השיכון מראים שכל יריעת סטיין מממד n אפשר להשתיל בהולומורפית בתוך
\, C^{2n+1} , ולכן כל משטח רימן לא קומפקטי ניתן לשיכון בהולומורפי ככתת-משפט של C^3.
פונקציה מרומורפית מוגדרת על X פחות קבוצה בדידה S אם היא הולומורפית שם. (קוטב הוא נקודה שבה הפונקציה מתנהגת כמו 1/z בחזקה מסוימת.) על משטח קומפקטי מרומורפיות יכולה להופיע רק בנקודות בודדות. ממשפט רימן רוך נובע כי על משטח קומפקטי יש פונקציות מרומורפיות לא קבועות.
על משטח שאינו קומפקטי כל פונקציה מרומורפית ניתנת להצגה כמנה של שתי פונקציות הולומורפיות.
אוסף כל הפונקציות המרומורפיות על X מהווה שדה, \\mathcal{M}(X). שדה זה הוא הרחבה של המישור המרוכב. אם X קומפקטי, השדה הוא הרחבה מתאימה ממעלה טרנסצנדנטית 1. שדה זה מקבל את כל המידע הטופולוגי והאנליטי של המשטח: שני משטחים קומפקטיים שווים עד כדי איזומורפיזם אם ורק אם שדותיהם המרומורפיים שווים.
משטח אוריינטבילי קומפקטי הומיאומורפי לספירה עם ידיות. מספר הידיות נקרא הגנוס g. הגנוס קשור לקוהומולוגיה: מימד \,H^1 של אלומת פונקציות מסומנת שווה לגנוס g. משטח גנוס 0 הוא אליפטי; גנוס 1 פרבולי; וגנוס גדול מ-1 היפרבולי.
מחלק הוא פונקציה D:X\rightarrow \mathbb{Z} שהתמיכה שלה (הנקודות שבהן D לא אפס) היא קבוצה בדידה. על משטח קומפקטי מחלקים ניתנים לייצוג כסכום סופי של נקודות עם משקלים שלמים. מחלקים ניתנים לחיבור והם יוצרים חבורה אבלית. מחלק נקרא אפקטיבי אם כל הערכים בו לאיליים ואינם שליליים.
לכל פונקציה מרומורפית שאינה אפס אפשר להגדיר את הסדר בכל נקודה. זה יוצר מחלק (f). פונקציה היא הולומורפית אם ורק אם המחלק שלה אפקטיבי. מחלקים מהצורה (f) נקראים מחלקים ראשיים, והם מהווים תת-חבורה של חבורת המחלקים.
הוא דוגמה למשטח רימן פרבולי
משטח רימן הוא צורה מיוחדת שבה עובדים עם מספרים מורכבים. ליד כל נקודה הוא נראה כמו חלק קטן מהמישור של מספרים מורכבים. (מישור זה הוא מקום שבו מסמנים a+bi.)
דוגמאות פשוטות הן הספירה והטורוס. יש גם צורות שאינן משטחים רימן, כמו סרט מביוס.
אטלס הוא אוסף מפות שמכסה את כל המשטח. (כמו אטלס של כדור הארץ.) מפה היא דרך להצמיד חלק מהמשטח למפה של המישור המרוכב. כששתי מפות חופפות, צריך שהמעבר ביניהן יהיה חלק ומתאים.
פונקציה הולומורפית היא פונקציה חלקה במובן של המספרים המורכבים. על משטח רימן שמקיף אזור סגור (קומפקטי), כל פונקציה הולומורפית היא קבועה. על משטחים פתוחים יש פונקציות שאינן קבועות.
פונקציה מרומורפית דומה להולומורפית אך יכולה להיות הורדת ערך חזק בנקודות ספורות. את התנהגות הפונקציה מסכמים במחלק. מחלק הוא ציון של מספרים שלמים לכל נקודה, בדרך כלל אפס ברוב הנקודות.
הגנוס הוא מספר ה"ידיות" שעושות את המשטח. למשל, הספירה גנוס 0. טורוס יש לו ידית אחת, כלומר גנוס 1. גנוס עוזר לדעת אם המשטח פרבולי, היפרבולי או אליפטי.
משטח רימן הוא משטח שבו אפשר להגדיר פונקציות מורכבות מקומיות. אטלס של מפות ותנאי התאמה הולומורפיים הם מה שקובע את המבנה. פונקציות הולומורפיות, מרומורפיות, מחלקים וגנוס הם הכלים העיקריים ללמוד על המשטח.
תגובות גולשים