שדה גלובלי
שדה גלובלי הוא שדה שבו עובדת נוסחת המכפלה. אמיל ארטין ו- C. Nesbitt הראו ששדות כאלה שייכים לשתי קבוצות עיקריות. להשלמות של שדות אלה יש מבנה נומרי מיוחד שמכונה שדה מקומי (שדה עם רעיון של קרבה). נוסחת המכפלה אומרת: בוחרים מדדים של גודל לכל מקום בשדה, וכשכופלים את כל הגדלים של מספר x שאינו אפס מקבלי...
שדה מקומי
שדה מקומי הוא שדה שיש בו דרך למדוד גודל וקרבה בין איברים. שדה הוא אוסף שבו עושים חיבור וכפל. יש שני סוגים עיקריים של שדות מקומיים לא ארכימדיים. הסוג הראשון קשור למספרים ה-p-אדיים \(\mathbb{Q}_p\). הסוג השני הוא טורי לורן פורמליים \(\mathbb{F}_q((t))\) מעל שדה סופי \(\mathbb{F}_q\). את הגודל שמודד...
0.999...
שיטה רגילה לכתוב מספרים היא בעזרת נקודה ועשרות. למשל 13.4 אומר שיש 13 ולפחות חלק נוסף. אם אחרי הנקודה יש ספרות שנמשכות לעד, קוראים לזה פיתוח עשרוני אינסופי. זה אומר שלוקחים סכום קטן־קטן של חלקים, וממשיכים לנצח. הביטוי 0.999... אומר שיש אין־סוף תשיעיות אחרי הנקודה. במתמטיקה מקובל שאותו הביטוי שווה ...
ערך מוחלט
ערך מוחלט אומר מה המרחק של מספר מאפס. אם יש 5 או -5, הערך המוחלט של שניהם הוא 5. אם מספר חיובי, הערך הוא המספר עצמו. אם מספר שלילי, הערך הוא המספר בעל הסימן ההפוך. הערך המוחלט תמיד גדול או שווה ל־0. הוא שווה 0 רק כשאיפס. הערך של מכפלה הוא מכפלת הערכים. גם נכון שהמרחק של סכום לא גדול מסכום המרחקים...
משפט קרונקר-ובר
משפט קרונקר-ובר אומר: כל הרחבה אבלית סופית של המספרים הרציונליים נמצאת בתוך שדה ציקלוטומי. שדה ציקלוטומי נוצר כשהוסיפו מספר ששווה ל-1 כשהורמים אותו בחזקה n. קרונקר הציע את הרעיון ב-1853, ובר הוכיח זאת ב-1886. דוגמה קלה: הרחבות ריבועיות נוצרות כשמוסיפים שורש ריבועי √d. אפשר להראות שהן תמיד יושבות בת...
למת הנזל
הלמה של הנזל עוזרת להעביר פתרונות של משוואות ממספרים עם שארית ב-p למספרים עם שארית ב-p בחזקות גבוהות יותר. (p הוא מספר ראשוני כמו 2,3,5). אם יש מספר r שמקיים שארית אפס בחלוקה ב-p לפולינום f, ונגזרת f'(r) (הנגזרת היא השיפוע, כלומר כמה הפונקציה משתנה) לא נותנת שארית אפס ב-p, אז אפשר למצוא בדיוק פתרו...