שדה מקומי

שדה מקומי הוא שדה שמצויד בערך מוחלט לא טריוויאלי, כך שהוא קומפקטי באופן מקומי. שדה הוא אוסף של מספרים שבו אפשר לחבר ולכפול כמו במספרים הרגילים.

את משפחת השדות המקומיים אפשר למיין במלואה. שדות לא ארכימדיים בעלי מאפיין 0 הם ההרחבות הסופיות של שדה המספרים ה-p-אדיים \(\mathbb{Q}_p\). שדות לא ארכימדיים בעלי מאפיין \(p>0\) הם שדות טורי לורן פורמליים \(\mathbb{F}_q((T))\) מעל שדה סופי \(\mathbb{F}_q\).


ערך מוחלט לא ארכימדי אפשר להגדיר בעזרת הערכה דיסקרטית \(\nu:F^{\times}\to\mathbb{Z}\). ההערכה מקיימת \(\nu(ab)=\nu(a)+\nu(b)\) ו- \(\nu(a+b)\ge\min\{\nu(a),\nu(b)\}\). מתוך ההערכה מגדירים את הערך המוחלט על ידי \(|a|=\gamma^{\nu(a)}\), כאשר \(\gamma\) קבוע.


חוג השלמים של שדה מקומי עם הערכה הוא חוג ראשי מקומי. המנות שלו סופיות. ולהפך: כל חוג ראשי מקומי סופי הוא מנה של חוג שלמים של שדה מקומי מתאים.


- המספרים ה-p-אדיים: חוג השלמים של \(\mathbb{Q}_p\) הוא \(\mathbb{Z}_p\). האידיאל הראשוני הוא \(p\mathbb{Z}_p\) ושדה השאריות הוא \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\) מסדר \(p\).

- טורי לורן פורמליים \(\mathbb{F}_q((t))\): חוג השלמים הוא טורי החזקות הפורמליים \(\mathbb{F}_q[[t]]\). האידיאל המקסימלי נוצר על ידי \(t\) ושדה השאריות הוא \(\mathbb{F}_q\).

- אוסף טורי לורן מעל השדה הממשי אינו שדה מקומי, כי שדה השאריות הוא \(\mathbb{R}\), שאינו שדה סופי.


אם \(E\) היא הרחבה מממד סופי של שדה מקומי לא ארכימדי \(F\), ההערכה על \(F\) משתלבת באופן יחיד ל-\(E\). גם \(E\) הוא שדה מקומי.

ההרחבות הממיינות משתמשות בשני אינווריאנטים מספריים: \(e\) ו-\(f\). \(e\) מודד את מידת הסיעוף (ramification), ו-\(f\) מודד את השינוי בשדה השאריות. המכפלה \(e\cdot f\) שווה תמיד לממד ההרחבה. הפרמטרים האלה הם כפוליים במגדלים של שדות.

הרחבה שבה \(e=1\) נקראת הרחבה לא מסועפת. לכל מימד יש בדיוק הרחבה לא מסועפת אחת, וכולן גלואה. ההרחבה הלא-מסועפת המקסימלית מסומנת \(F_{nr}\), והחבורה הגלואה \(\mathrm{Gal}(F_{nr}/F)\) איזומורפית להשלמה הפרו-סופית \(\widehat{\mathbb{Z}}\) של \(\mathbb{Z}\).

הרחבות שבהן \(f=1\) הן מסועפות לחלוטין. הן מתקבלות על ידי סיפוח שורשים של פולינומים מסוג איינשטיין מעל חוג השלמים. בכל הרחבה יש תת‑שדה לא מסועף מקסימלי, וההרחבה מעליו היא מסועפת לחלוטין.


בתורת שדות המחלקה המקומית יש מבנה חזק שמקשר בין הרחבות גלואה של שדות מקומיים ובין קבוצות מטריציוניות של המנות. לכל הרחבת גלואה \(K/F\) עם חבורת גלואה \(G\) מסדר \(n\), קבוצת הקוהומולוגיה השנייה \(H^2(G,K^{\times})\) (החבורה של בראואר היחסית) היא ציקלית מסדר \(n\). קיימת העתקה בילינארית \(H^2(G,K^{\times})\times G\to F^{\times}/N_{K/F}(K^{\times})\). אם בוחרים יוצר ב-\(H^2\), ההעתקה היא על, והגרעין ברכיב השני הוא תת‑החבורה היוצרת את האבליניזציה של \(G\). לכן \(F^{\times}/N(K^{\times})\) איזומורפי לאבליניזציה \(G/G'\).

שדה מקומי הוא שדה שיש בו דרך למדוד גודל וקרבה בין איברים. שדה הוא אוסף שבו עושים חיבור וכפל.

יש שני סוגים עיקריים של שדות מקומיים לא ארכימדיים. הסוג הראשון קשור למספרים ה-p-אדיים \(\mathbb{Q}_p\). הסוג השני הוא טורי לורן פורמליים \(\mathbb{F}_q((t))\) מעל שדה סופי \(\mathbb{F}_q\).


את הגודל שמודדים מגדירים דרך פונקציה \(\nu\) שמקבלת מספרים שלמים. הפונקציה מקיימת חוקים פשוטים לחיבור ולכפל. מתוך זה ממציאים ערך מוחלט שמודד כמה "גדול" איבר.


חוג השלמים הוא הקבוצה של איברים שלא מקבלים "חלקים" שליליים. בחוג זה המנות (החיבוריות) הן סופיות.


- ב-\(\mathbb{Q}_p\) חוג השלמים הוא \(\mathbb{Z}_p\). האידיאל שנוצר על ידי \(p\) נותן שדה שאריות \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\).

- ב-\(\mathbb{F}_q((t))\) חוג השלמים הוא \(\mathbb{F}_q[[t]]\). האידיאל נוצר על ידי \(t\) ושדה השאריות הוא \(\mathbb{F}_q\).

- טורי לורן מעל המספרים הממשיים אינם שדה מקומי, כי שדה השאריות הוא \(\mathbb{R}\), ולא שדה סופי.


כשהרחבה היא מממד סופי, שומרים על ההערכה באופן יחיד. יש שני מספרים חשובים, \(e\) ו-\(f\). \(e\) מודד כמה ההערכה 'מתעקמת' (סיעוף). \(f\) מודד כמה שדה השאריות גדל. תמיד \(e\cdot f\) שווה לממד ההרחבה.

הרחבה עם \(e=1\) נקראת לא מסועפת. לכל מימד יש הרחבה לא מסועפת אחת בלבד. הרחבות עם \(f=1\) נקראות מסועפות לחלוטין.


בתורה הזאת מקשרים בין הרחבות גלואה של שדות מקומיים לבין קבוצות של מכפלים של איברים. זה מסייע להבין אילו איברים הם נורמות מההרחבה.